Дифференциальные уравнения порядка n.
Общий вид: .
Если уравнение сведено к виду то оно называется разрешённым относительно старшей (высшей) производной.
Примеры дифференциальных уравнений 2 порядка из физики:
Уравнение колебаний . Здесь чем больше координата, тем больше действует сила (ускорение) в противоположную сторону. Если координата отрицательна, то сила действует в положительную сторону.
Методы понижения порядка.
Случай 1.Если в уравнении отсутствуют младшие порядки производных. Так, в уравнении отсутствуют все производные до порядка k-1, в том числе 0-го порядка, а именно сама функция , и начинаются с порядка . В этом случае можно сдедать замену , то есть в качестве новой функции взять производную самого младшего порядка, которая есть в уравнении. Докажем, что в этом случае понизится на порядков и станет .
и т.д.
Пример. Решить уравнение 2 порядка .
Замена: , тогда .
Уравнение сводится к виду . Для уравнение 1 порядка и решается обычными методами, изученными ранее.
.
Вспомним о том, что , то есть теперь, чтобы сделать обраную замену и восстановить , надо 1 раз проинтегрировать.
= . В общем решении здесь не одна, а две константы, вторая появляется из-за того, что интегрировали для обратной замены. А если уравнение 3 порядка, то будет 3 константы в общем решении.
Пример. Решить уравнение 3 порядка .
Решение. Уравнение сводится к но только в этом случае - заменой , ведь самая младшая из производных, существующих в этом уравнении - вторая.
Уравнение 1 порядка решается аналогично, и получаем .
Теперь надо два раза вычислить первообразную:
, тогда , а тогда .
Случай 2.Если в уравнении содержится и все порядки производных, но при этом нет переменной . Тип уравнения такой: .
Например, - уравнение колебательного процесса в физике.
В этом случае замена , то есть будет выступать в роли переменной, а - в роли функции от .
Естественно возникает вопрос: а существуют ли в принципе такие преобразования, не содержат ли они противоречия? Всегда ли можно выразить как функцию от ? Изучим этот вопрос подробнее. Оказывается, надо лишь найти обратную функцию и подставить её в производную . Примеры:
Пример 1. , . Выразим , и подставим в производную, тогда верно, что .
Пример 2. , . Тогда , и в итоге .
Как видите, может быть записано не только как функция от , но и как функция от .
Итак, замена . В данном случае, не , потому что фактически здесь была композиция: , и следующую производную от неё надо вычислять именно как для композиции.
Получается .
=
вычисляем производную произдведения двух сомножителей, причём в каждом из них ещё и композиция:
учитывая, что , получится .
1-я производная от выражается через 0-ю производную от ,
2-я производная от выражается максимум через 1-ю производную от , 3-я производная от выражается через 2-ю, 1-ю и 0-ю производную от :
.
Таким образом, доказали, что порядок при таком преобразовании обязательно понизится на 1 единицу.
Пример: (уравнение колебаний).
После замены, уравнение преобразуется к виду: .
Сначала 1-й шаг: ищем неизвестную функцию .
.При этом , иначе справа всё выражение было бы отрицательно и не могло бы быть равно . Если , то эту константу можно представить в виде . Итак,
, то есть . Итак, мы нашли неизвестную функцию , то есть выполнели действия после замены. Теперь нужно сделать обратную замену, фактически для этого выполнить такой же по объёму 2-й шаг, решить новое дифференциальное уравнение. Ведь , то есть теперь надо решить уравнение:
.
2 шаг. Обратная замена.
. Здесь называется амплитудой колебаний, - фазой. Впрочем, при получается не синус, косинус, а именно, по формуле приведения . Поэтому в решении есть и косинусы. Более того, мы могли при решении знак плюс-минус также перенести, , тогда бы слева сразу получалось 2 варианта: или арксинус, или арккосинус.
Ещё решение этого уравнения можно записать в виде: .
На этом примере увидели, что уравнение действительно является уравнением колебаний, то есть в его решении периодические функции.
Здесь показаны лишь две основные наиболее известные замены.
Существуют и другие замены и преобразования, применяемые в разных частных случаях, например, иногда удобно поделить всё уравнение на или на , чтобы оно упростилось.