Дифференциальные уравнения порядка n.

Общий вид: Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Если уравнение сведено к виду Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru то оно называется разрешённым относительно старшей (высшей) производной.

Примеры дифференциальных уравнений 2 порядка из физики:

Уравнение колебаний Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . Здесь чем больше координата, тем больше действует сила (ускорение) в противоположную сторону. Если координата Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru отрицательна, то сила действует в положительную сторону.

Методы понижения порядка.

Случай 1.Если в уравнении отсутствуют младшие порядки производных. Так, в уравнении Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru отсутствуют все производные до порядка k-1, в том числе 0-го порядка, а именно сама функция Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , и начинаются с порядка Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . В этом случае можно сдедать замену Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , то есть в качестве новой функции взять производную самого младшего порядка, которая есть в уравнении. Докажем, что в этом случае понизится на Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru порядков и станет Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru и т.д.

Пример. Решить уравнение 2 порядка Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Замена: Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , тогда Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Уравнение сводится к виду Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . Для Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru уравнение 1 порядка и решается обычными методами, изученными ранее.

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Вспомним о том, что Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , то есть теперь, чтобы сделать обраную замену и восстановить Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , надо 1 раз проинтегрировать.

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru = Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . В общем решении здесь не одна, а две константы, вторая появляется из-за того, что интегрировали для обратной замены. А если уравнение 3 порядка, то будет 3 константы в общем решении.

Пример. Решить уравнение 3 порядка Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Решение. Уравнение сводится к Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru но только в этом случае - заменой Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , ведь самая младшая из производных, существующих в этом уравнении - вторая.

Уравнение 1 порядка решается аналогично, и получаем Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Теперь надо два раза вычислить первообразную:

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , тогда Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , а тогда Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Случай 2.Если в уравнении содержится Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru и все порядки производных, но при этом нет переменной Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . Тип уравнения такой: Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Например, Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru - уравнение колебательного процесса в физике.

В этом случае замена Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , то есть Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru будет выступать в роли переменной, а Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru - в роли функции от Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Естественно возникает вопрос: а существуют ли в принципе такие преобразования, не содержат ли они противоречия? Всегда ли можно выразить Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru как функцию от Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru ? Изучим этот вопрос подробнее. Оказывается, надо лишь найти обратную функцию и подставить её в производную Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . Примеры:

Пример 1. Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . Выразим Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , и подставим в производную, тогда верно, что Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Пример 2. Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . Тогда Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , и в итоге Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Как видите, Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru может быть записано не только как функция от Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , но и как функция от Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Итак, замена Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . В данном случае, Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru не Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , потому что фактически здесь была композиция: Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , и следующую производную от неё надо вычислять именно как для композиции.

Получается Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru = Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru

вычисляем производную произдведения двух сомножителей, причём в каждом из них ещё и композиция:

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru

учитывая, что Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , получится Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

1-я производная от Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru выражается через 0-ю производную от Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru ,

2-я производная от Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru выражается максимум через 1-ю производную от Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , 3-я производная от Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru выражается через 2-ю, 1-ю и 0-ю производную от Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru :

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Таким образом, доказали, что порядок при таком преобразовании обязательно понизится на 1 единицу.

Пример: Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru (уравнение колебаний).

После замены, уравнение преобразуется к виду: Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Сначала 1-й шаг: ищем неизвестную функцию Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .При этом Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , иначе справа всё выражение было бы отрицательно и не могло бы быть равно Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . Если Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , то эту константу можно представить в виде Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . Итак,

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , то есть Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . Итак, мы нашли неизвестную функцию Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , то есть выполнели действия после замены. Теперь нужно сделать обратную замену, фактически для этого выполнить такой же по объёму 2-й шаг, решить новое дифференциальное уравнение. Ведь Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , то есть теперь надо решить уравнение:

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

2 шаг. Обратная замена.

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru

Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . Здесь Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru называется амплитудой колебаний, Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru - фазой. Впрочем, при Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru получается не синус, косинус, а именно, по формуле приведения Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru . Поэтому в решении есть и косинусы. Более того, мы могли при решении знак плюс-минус также перенести, Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , тогда бы слева сразу получалось 2 варианта: или арксинус, или арккосинус.

Ещё решение этого уравнения можно записать в виде: Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru .

На этом примере увидели, что уравнение Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru действительно является уравнением колебаний, то есть в его решении периодические функции.

Здесь показаны лишь две основные наиболее известные замены.

Существуют и другие замены и преобразования, применяемые в разных частных случаях, например, иногда удобно поделить всё уравнение на Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru или на Дифференциальные уравнения порядка n. - student2.ru , чтобы оно упростилось.


Наши рекомендации