Теория течения с изотропным упрочнением
Основной недостаток модели идеально пластичного материала – это весьма упрощенная схематизация диаграмма деформирования. Простейший путь для устранения этого недостатка – сделать величину sT переменной, возрастающей по мере деформирования. Например, можно положить sT функцией деформации: в процессе деформирования при растяжении она возрастает. Однако при сжатии sT будет уменьшаться, как и деформация. При этом нарушается постулат устойчивости Друкера (dsz dez > 0), что не соответствует реальному поведению материалов. Логично использовать неубывающий параметр – параметр Удквиста λ, представляющий путь пластической деформации
.
В отличие от пластической деформации, параметр Удквиста – это скрытый параметр состояния, показывающий суммарную степень пластического деформирования за всю историю деформирования независимо от того, происходит растяжение, сжатие или циклическое неупругое деформирование. Функция
, (7.1)
где предел текучести определяется параметром Удквиста, представляет собой уравнение состояния теории течения с изотропным упрочнением. Отметим, что пластическая деформация металла в теории течения уподобляется течению вязкой жидкости. В случае сложного нагружения параметр Удквиста в уравнении состояния определяет не предел текучести sT, а функцию поверхности текучести 
и представляет собой интенсивность приращения неупругой деформации
. (7.2)
 |
| Рис.7.1 |
В остальном уравнения модели остаются теми же, что и у идеально пластичного материала:
,
а накопление пластической деформации также происходит в соответствии с ассоциированным законом пластического течения:
, 
.
Поскольку λ не убывает, sT(λ) одинаково лимитирует область упругой работы в сторону растяжения и сжатия, описываемое упрочнение является изотропным, то есть одинаковым для напряжений любого знака. Диаграмма растяжения при этом может быть описана практически с любой точностью подбором зависимости (7.1), но при разгрузке после достижения некоторого λ = λ1, при котором sT = sT1, материал работает упруго в диапазоне напряжений от (–sT1) до sT1. Аналогично, после достижения λ = λ2, при котором sT = sT2, материал работает упруго в диапазоне напряжений от (–sT2) до sT2 и так далее. Это противоречит экспериментальным наблюдениям: в действительности наклеп, связанный с ростом sT при растяжении, не означает роста предела текучести при сжатии. Наоборот, обычно обнаруживается разупрочнение (снижение предела текучести) при наклепе нагружением другого знака. Упрочнение всегда анизотропно, то есть различно по отношению к растяжению и сжатию.
Функцию (7.1) можно подобрать так, чтобы верно отразить процесс циклического упрочнения в испытаниях с заданной амплитудой внешнего воздействия. Тогда величина sT должна заметно медленнее повышаться с ростом λ от полуцикла к полуциклу, чем это необходимо для описания начальной кривой деформирования: путь циклического пластического деформирования до стабилизации может быть на порядки большим, чем при однократном нагружении до выхода на предельное напряжение. Но тогда диаграммы деформирования в каждом цикле будут практически соответствовать диаграмме Прандтля.
Иногда для описания циклического упрочнения вместо параметра λ используют номер полуцикла k = 2N, 2N + 1 (где N – это номер цикла нагружение). В отличие от параметра Удквиста эта величина не связана с размахом деформаций в цикле, то есть упрочнение перестает зависеть от каких-либо характеристик цикла. Если принять
,
Диаграммы в каждом полуцикле будут диаграммами Прандтля, но с возрастающим при увеличении числа полуциклов пределом текучести. Эксперименты показывают, что в действительности изотропное упрочнение зависит от амплитуды: при практически упругом циклическом нагружении упрочнения почти не происходит, хотя номер цикла возрастает.