Тема4 Функции нескольких переменных

Пусть задано множество упорядоченных пар чисел . Соответствие , которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно число , называется функцией двух переменных, определенной на множестве со значениями в , и записывается в виде .

4.1 Частные производные функции нескольких переменных

Частной производной функции нескольких переменных называется производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных переменных. Обозначения частных производных: .

Частные производные называют частными производными первого прядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции также могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.

Теорема. Если частные производные непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для имеем:

Задача 1 . Найти производные первого порядка и смешанную производную второго порядка функции .

Решение. При нахождении частной производной по полагаем постоянной: . При нахождении частной производной по полагаем постоянной: .

4.2 Экстремумфункции нескольких переменных

Пусть функция определена в некоторой области , точка .

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство ( ).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

Точка, в которой частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной точкой функции.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения

.

Обозначим .

Тогда:

1. Если , то функция имеет в точке экстремум: максимум, если ; минимум, если .

2.Если , то функция в точке экстремума не имеет.

В случае необходимы дополнительные исследования.

Задача 2. Найти экстремум функции

Решение. Здесь ; . Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точки М₁ (6;3) и М₂ (0;0).

Находим частные производные второго порядка данной функции: , , .

В точке М₁ (6;3) имеем: А=-18, В=36, С=-108, отсюда

=648, т.е. > 0.

Так как А<0, то в точке М₁ функция имеет локальный максимум:

=324 – 216 – 81 = 27.

В точке М₂(0;0): А=0, В=0, С=0 и, значит, =0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции в точке М₂ равно нулю: (0;0)=0. Можно заметить, что < 0 при ; ≠ 0; при , . Значит, в окрестности точки М₂(0;0) функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М₂ функция экстремума не имеет.

4.3 Градиент. Производная по направлению

Скалярным полем называется плоская или пространственная область, с каждой точкой которой связано определенное значение некоторой физической величины . Задание поля скалярной величины равносильно заданию скалярной (числовой) функции .

Линией уровня скалярного поля называется совокупность точек плоскости, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения ( , где

Градиентом функции называется вектор

= .

Направлениевектора в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности (линии) уровня, проходящей через эту точку.

Производная функции в точке в направлении вектора , образующего с осями координат углы и , вычисляется по формуле

Задача 3. Найти градиент и производную функции в точке М(3,4₎ в направлении вектора l, составляющего угол с положительным направлением оси Ох.

Решение. Найдем частные производные функции в точке М:

.

Тогда градиент будет равен: .

Найдем направляющие косинусы: . Тогда производная по направлению будет равна