Функции нескольких переменных. Пример 16. Найти градиент функции в точке

Пример 16. Найти градиент функции в точке

М( 4; 2 ) и производную по направлению вектора

Решение. Найдем частные производные

и

Вычислим значения частных производных в точке М:

Таким образом, градиентом функции будет вектор:

Производную по направлению вектора найдем по формуле:

Ответ:

Дифференциальные уравнения

Пример 17. Решить задачу Коши:

Решение. 1) Найдем общее решение дифференциального уравнения. Данное дифференциальное уравнение первого порядка является линейным. Следовательно, произведем следующую замену переменной:

Тогда

Подберем теперь такую функцию v(x), чтобы v¢+2xv=0. То есть v(x) будем искать как решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

При С = 0 получим: ln| v | = -x². Следовательно, .

При таком выборе функции v(x) исходное дифференциальное уравнение примет вид:

Следовательно, Таким образом,

2) Для решения задачи Коши воспользуемся начальным условием y(0)=0.

Тогда

Ответ: .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Задание №1. Решить систему линейных уравнений:

1) методом Гаусса; 2) методом Крамара; 3) с помощью обратной матрицы.

Задание №2.Дана пирамида ABCD. Найти: 1) угол CBD; 2) площадь грани ABC; 3) объем пирамиды.

1. A( 2; 4;-3 ), B(-1; 3; 5 ), C( 6;-2; 1 ), D(-2;-3; 4 ).

2. A( 4; 2; 3 ), B( 1;-4; 5 ), C( 2;-4;-1 ), D(-3; 2; 3 ).

3. A(-1; 3; 3 ), B( 7; 2; 0 ), C(-2;-1; 4 ), D( 4; 3; -1 ).

4. A(-2; 5; 6 ), B( 0; 5;-8 ), C(-3; 2; 4 ), D( 5; -2; 6 ).

5. A( 1; 5; 3 ), B( 7; 0; -1 ), C(-6; 2; 3 ), D(-2; 3; 3 ).

6. A( 2; 4;-3 ), B(-1; 3; 5 ), C( 3; -2; 1 ), D( 2; 3;-7 ).

7. A( 3; 0; 5 ), B(-4; 3; -1 ), C(-5; 2; 3 ), D( 1; 1; 4 ).

8. A( 5;-2; 1 ), B(-2;-3; 0 ), C( 7;-1;-1 ), D(-1; 0; 5 ).

9. A(-3; 1; 0 ), B( 4; 1; -5 ), C(-6; 1; 1 ), D( 3;-1;-1 ).

10. A(-7; 1;-5 ), B( 3; -6; 1 ), C( 4;-1; 4 ), D( 2; 5; 0 ).

Задание №3. Дан треугольник ABC . Найти: 1) уравнения сторон;

2) уравнение и длину медианы AM; 3) уравнение и длину высот BD и CK;

4) уравнение биссектрисы угла B; 5) точку пересечения медианы АМ с высотой BD и угол между ними.

1. A( 2; 3 ), B(-4; 3 ), C(-1; -1 ).	2. A(-2; 4 ), B(-2; 1 ), C( 1; 5 ).
3. A( 4; 1 ), B( 3; 1 ), C( 0; -3 ).	4. A( 3; -2 ), B( 3; 0 ), C(-1; -3 ).
5. A( 6; 4 ), B(-3; 4 ), C( 1; 1 ).	6. A(-2; 2 ), B(-2; 6 ), C( 1; 10 ).
7. A( 5; 1 ), B( 3; 1 ), C(-1; -2 ).	8. A( 3; 0 ), B( 3; -6 ), C( 0; -2 ).
9. A(-2; 3 ), B( 4; 3 ), C( 1; -1 ).	10. A( 6; 1 ), B( 6; -3 ), C( 3; -1 ).

Задание №4. Найти предел следующих функций:

Задание №5. Найти производную y¢ ( x) следующих функций:

Задание №6. Вычислить приближенно, с помощью дифференциала:

Задание №7. Найти неопределенный интеграл:

Задание №8. С помощью определенного интеграла вычислить площадь земельного участка, ограниченного линиями:

Задание №9. Найти градиент функции z = z( x; y ) в точке М и производную по направлению вектора .

Задание №10. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию (задача Коши):

ЧАСТЬ III

Программа 3-го семестра

(зачет)

1. Случайные события. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности.

2. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

3. Формула полной вероятности

4. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

5. Дискретные случайные величины. Закон распределения случайной величины. Законы биномиальный и Пуассона.

6. Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Закон больших чисел.

7. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения.

8. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

9. Равномерное, нормальное и показательное распределения.

10. Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

11. Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

12. Корреляция. Линейная и криволинейная корреляция.

13. Коэффициент корреляции. Линии регрессии.

14. Множественная корреляция.

15. Статистическая проверка статистических гипотез.