Основы векторной алгебры и математического анализа

Основы векторной алгебры и математического анализа

Скалярные и векторные величины

Скалярная величина – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение.

Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.

Примеры скалярных величин: температура, масса, объем, время, плотность. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия.

Векторная величина – это физическая величина, которая имеет две характеристики:

1) численное значение, которое всегда положительно (модуль вектора);

2) направление.

Примеры векторных физических величин: скорость, ускорение, сила.

Векторная величина обозначается латинской буквой и стрелкой над этой буквой. Например:

- вектор скорости обозначается символом ,

- вектор ускорения обозначается символом ,

- вектор силы обозначается символом .

Модуль вектора обозначается так:

или - модуль вектора ,

или - модуль вектора ,

или - модуль вектора ,

На рисунке (графически) вектор изображается направленным отрезком прямой линии. Модуль вектора равен длине направленного отрезка в заданном масштабе.

Действия с векторами

Математические действия с векторными величинами – это геометрические действия.

Сравнение векторов

Равные векторы.Два вектора равны, если они имеют:

- равные модули,

- одинаковые направления.

Противоположные векторы. Два вектора противоположны, если они имеют:

- равные модули,

- противоположные направления.

-

Сложение векторов

Мы можем сложить два вектора геометрически по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.

Пусть заданы два вектора и (см. рис.). Найдем сумму этих векторов + = . Величины и - это составляющие векторы, вектор - это результирующий вектор.

Правило параллелограмма для сложения двух векторов:

1. Нарисуем вектор .

2. Нарисуем вектор так, что его начало совпадает с началом вектора ; угол между векторами равен (см. рисунок).

3. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору .

4. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору .

Мы построили параллелограмм. Стороны этого параллелограмма – составляющие векторы и .

5. Проведем диагональ параллелограмма из общей точки начала вектора и начала вектора .

6. Модуль результирующего вектора равен длине диагонали параллелограмма и определяется по формуле:

;

начало вектора совпадает с началом вектора и началом вектора (направление вектора показано на рисунке).

Правило треугольника для сложения двух векторов:

1. Нарисуем составляющие векторы и так, что начало вектора совпадает с концом вектора . При этом угол между векторами равен .

2. Результирующий вектор направлен так, что его начало совпадает с началом вектора , а конец совпадает с концом вектора .

3. Модуль результирующего вектора находим по формуле:

Вычитание векторов

Вычитание векторов – это действие, обратное сложению:

Найти разность вектора и вектора - это тоже самое, что найти сумму вектора и вектора , противоположного вектору . Мы можем найти вектор разности геометрически по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (см. рис.).

Правило параллелограмма.

Стороны параллелограмма - вектор и вектор - ; диагональ параллелограмма - вектор разности .

Правило треугольника.

Вектор разности соединяет конец вектора и конец вектора (начало вектора совпадает с концом вектора ).

Умножение вектора на скаляр

Пусть заданы вектор и скаляр n. Найдем произведение вектора и скалярного вектора n.

В результате умножения вектора на скаляр мы получаем новый вектор :

Направление вектора такое же, как направление вектора при .

Направление вектора противоположно направлению вектора при .

Модуль вектора в n раз больше модуля вектора , если .

Скалярное произведение

Из двух векторов и можно образовать скаляр по правилу:

Это выражение называется скалярным произведением векторов и и обозначается одним из символов , или .

Следовательно, ^. = .

По определению скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) ,

2) ,

3)

Векторное произведение

Из двух векторов и можно образовать новый вектор:

, где

Модуль нового результирующего вектора находим по формуле:

.

Эта операция называется векторным произведением векторов и и обозначается одним из символов или .

Также общеизвестна формула

,

где - угол между векторами и .

Направление вектора можно найти, используя следующий прием. Мысленно совмещаем продольную ось буравчика (правого винта, штопора) с перпендикуляром к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы (в данном примере – векторы и ). Затем начинаем вращать головку винта (ручку штопора) по направлению кратчайшего поворота от первого сомножителя ко второму, то есть от вектора к вектору . Направление движения тела винта и будет являться направлением вектора . Этот прием называется правилом правого винта или правилом буравчика (см. рис.).

В терминах векторного произведения выражаются момент силы, момент импульса и др. Говоря о векторе, всегда имеем ввиду его компоненты. Вектор, в отличие от скаляра, определяется тремя числами. Поэтому такие операции как сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения сводятся к привычным действиям с компонентами.

Производная и интеграл

Производная и ее применения

Пусть функция у=f(х) определена в точках х и х₁ .Разность х₁ - х называется приращением аргумента, а разность f(х₁) - f(х) - приращением функциипри переходе от значения аргумента х к значению аргумента х₁. Приращение аргумента обозначают , приращение функции обозначают или .

Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что , то функция у=f(х) называется дифференцируемой в точке х, а этот предел называется значением производной функции у=f(х) в точке х и обозначается или .

Операцию отыскания производной называют дифференцированием.

Первообразная и интеграл

Пусть на интервале (а, b) задана непрерывная функция f(х). По определению функция F(х) называется первообразной функцией для f(х) на интервале (а, b), если на нем производная от F(х) равна f(х):

Очевидно, что если функция - первообразная для f(х) на (а,b), а С – некоторая постоянная, то функция есть также первообразная для f(х), потому, что

Если F(х) какая-либо первообразная от f(х) на интервале (а, b), то возможные первообразные от f(х) на этом интервале выражаются формулой , где вместо С можно подставить любое число.

Неопределенным интегралом от непрерывной функции f(х) на интервале (а, b) называется произвольная ее первообразная функция. Неопределенный интеграл обозначается так:

.

Если , – непрерывные на интервале (а, b) функции и , и – постоянные, то имеет место следующее равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла:

,

где С – некоторая постоянная.

Список основных неопределенных интегралов

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8.

9.

10. ;

11.

12. ;

13. ;

14.

3.Задания для контрольной работы по дисциплине

«Введениие в физику»

Основы векторной алгебры

1-1. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

1-2. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

1-3. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

1-4. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

1-5. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

1-6. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

1-7. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

1-8. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

1-9. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

1-10. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

Прямая задача кинематики

Обратная задача кинематики

Если известны зависимости и начальные условия , , , , , , то можно определить:

; ;

; ;

Путь, пройденный частицей за время t:

3-1. Частица начала свое движение из начала координат, и ее скорость зависит от времени по закону .

На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени с, если А = В = 1 м/c.

3-2. Частица начала свое движение из начала координат, и ее скорость зависит от времени по закону

. Какой путь проделает частица за время с, если А = В = 1 м/c, рад/с.

3-3. Частица начала свое движение из начала координат с нулевой начальной скоростью, и ее ускорение зависит от времени по закону . Найти модуль скорости частицы в момент времени с, если А = В =1 м/с².

3-4. Частица начала свое движение из начала координат с нулевой начальной скоростью, и ее ускорение зависит от времени по закону . Найти тангенс угла, под которым будет направлена скорость частицы в момент времени с а) к оси х, б) к оси y, если А = В =1 м/с².

3-5. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоростью и с ускорением, которое зависит от времени по закону . Каков модуль скорости частицы в момент времени с, если А = 1 м/с, В =1 м/с².

3-6. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоростью и с ускорением, которое зависит от времени по закону . Каков модуль скорости частицы в момент времени с, если А = 1 м/с, В =1 м/с².

3-7. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоростью и с ускорением, которое зависит от времени по закону . Каков модуль скорости частицы в момент времени с, если А = 1 м/с, В =1 м/с².

3-8. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором со скоростью, которая зависит от времени по закону . На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени с, если А = В = 1 м/c, С = 1 м.

3-9. Частица начала свое движение из начала координат, и ее скорость зависит от времени по закону . Какой путь проделает частица за время с, если А = В = 1 м/c.

3-10. Частица начала свое движение из начала координат с нулевой начальной скоростью, и ее ускорение зависит от времени по закону . Какая величина скорости будет у частицы в момент времени с, если А = 1 м/с², В =1 м/с².

3-11. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоростью и с ускорением, которое зависит от времени по закону . Каков модуль скорости частицы в момент времени с, если А = 1 м/с, В =1 м/с².

3-12. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоростью и с ускорением, которое зависит от времени по закону . Каков модуль скорости частицы в момент времени с, если А = 1 м/с, В =1 м/с².

3-13. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоростью и с ускорением, которое зависит от времени по закону . Каков модуль скорости частицы в момент времени с, если А = 1 м/с, В =1 м/с².

3-14. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором со скоростью, которая зависит от времени по закону . На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени с, если А = В = 1 м/c, С = 1 м.

3-15. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором со скоростью, которая зависит от времени по закону . На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени с, если А = В = 1 м/c, С = 1 м.

3-16. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором со скоростью, которая зависит от времени по закону . На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени с, если А = В = 1 м/c, С = 1 м.

3-17. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором со скоростью, которая зависит от времени по закону . На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени с, если А = В = 1 м/c, С = 1 м.

3-18. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором со скоростью, которая зависит от времени по закону

. На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени с, если А = В =1 м/c, С = 1 м.

3-19. Начальная скорость частицы равна , а ускорение меняется во времени по закону . Через сколько секунд скорость частицы окажется перпендикулярной оси ОХ?

3-20. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором со скоростью, которая зависит от времени по закону

. На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени с, если А = В =1 м/c, С = 1 м.

Теорема Штейнера.

Момент инерции твердго тела относительно произвольной оси О равен сумме момента инерции этого тела относительно оси С, параллельной оси О и проходящей через центр масс тела, и произведения массы этого тела и квадрата расстояния между осями О и С.

Координата центра масс , где – координата материальной точки с массой или (случай непрерывного распределения).

Таблица моментов инерции некоторых фигур.

– кольца относительно оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости.	– однородного шара относительно оси, проходящей через центр шара.
– диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости.	– стержня относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему.

8-1. Перпендикулярно плоскости однородного диска массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс диска С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от точки А на краю диска. Точки О, С и А лежат на диаметре диска. Во сколько раз больше момент инерции диска , чем ? Если m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.

8-2. Перпендикулярно однородному тонкому стержню массы m и длиной l проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс стержня С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от его конца А. Во сколько раз больше момент инерции стержня , чем ? Если m = 1 кг, l = 1 м, х = 0,4 м.

8-3. Через однородный шар массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс шара С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от края шара A. Точки А, О и С лежат на диаметре шара. Во сколько раз больше момент инерции шара , чем ? Если m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.

8-4. Два одинаковых диска массой m и радиусом R каждый положили на плоскость и приварили друг к другу. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости дисков через точку О . Если R = 1 м, m = 1 кг.

8-5. Два одинаковых диска массой m и радиусом R каждый положили на плоскость и приварили друг к другу. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости дисков через центр масс одного из дисков О. R = 1 м, m = 1 кг.

8-6. Два одинаковых шара массой m и радиусом R каждый приварили друг к другу. Касательная к шару ось О проходит перпендикулярно линии, проходящей через центры шаров. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О. R = 1 м, m = 1 кг.

8-7. Два одинаковых шара массой m и радиусом R каждый приварили друг к другу. Ось О проходит по диаметру шара перпендикулярно линии, соединяющей центры шаров. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О.

R = 1 м, m = 1 кг.

8-8. Два одинаковых однородных тонких стержня массой m и длиной l каждый приварили концами перпендикулярно друг к другу. Через конец одного из стержн