Основы векторной алгебры и математического анализа

Скалярные и векторные величины

Скалярная величина – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение.

Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.

Примеры скалярных величин: температура, масса, объем, время, плотность. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия.

Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru Векторная величина – это физическая величина, которая имеет две характеристики:

1) численное значение, которое всегда положительно (модуль вектора);

2) направление.

Примеры векторных физических величин: скорость, ускорение, сила.

Векторная величина обозначается латинской буквой и стрелкой над этой буквой. Например:

- вектор скорости обозначается символом Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru ,

- вектор ускорения обозначается символом Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru ,

- вектор силы обозначается символом Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru .

Модуль вектора обозначается так:

Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru или - модуль вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru ,

Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru или - модуль вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru ,

Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru или - модуль вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru ,

На рисунке (графически) вектор изображается направленным отрезком прямой линии. Модуль вектора равен длине направленного отрезка в заданном масштабе.

Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru

Действия с векторами

Математические действия с векторными величинами – это геометрические действия.

Сравнение векторов

Равные векторы.Два вектора равны, если они имеют:

- равные модули,

- одинаковые направления.

Противоположные векторы. Два вектора противоположны, если они имеют:

- равные модули,

- противоположные направления.

-

Сложение векторов

Мы можем сложить два вектора геометрически по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.

Пусть заданы два вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru и Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru (см. рис.). Найдем сумму этих векторов Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru + Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru = Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru . Величины Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru и Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru - это составляющие векторы, вектор Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru - это результирующий вектор.

Правило параллелограмма для сложения двух векторов:

Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru 1. Нарисуем вектор Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru .

2. Нарисуем вектор Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru так, что его начало совпадает с началом вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru ; угол между векторами равен Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru (см. рисунок).

3. Через конец вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru проведем прямую линию, параллельную вектору Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru .

4. Через конец вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru проведем прямую линию, параллельную вектору Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru .

Мы построили параллелограмм. Стороны этого параллелограмма – составляющие векторы Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru и Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru .

5. Проведем диагональ параллелограмма из общей точки начала вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru и начала вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru .

6. Модуль результирующего вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru равен длине диагонали параллелограмма и определяется по формуле:

Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru ;

начало вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru совпадает с началом вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru и началом вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru (направление вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru показано на рисунке).

Правило треугольника для сложения двух векторов:

Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru

1. Нарисуем составляющие векторы Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru и Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru так, что начало вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru совпадает с концом вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru . При этом угол между векторами равен Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru .

2. Результирующий вектор Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru направлен так, что его начало совпадает с началом вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru , а конец совпадает с концом вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru .

3. Модуль результирующего вектора находим по формуле:

Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru

Вычитание векторов

Вычитание векторов – это действие, обратное сложению:

Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru

Найти разность вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru и вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru - это тоже самое, что найти сумму вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru и вектора Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru , противоположного вектору Основы векторной алгебры и математического анализа - student2.ru . Мы можем найти вектор разности геометрически по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (см. рис.).

Наши рекомендации