Задача Д1 (тема: “Динамика точки”)

Груз D массой т, получив в точке А начальную скорость , движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные,или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0-Д1.9, табл. Д1). На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке AB пренебречь.

В точке В груз, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила , проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. x = x(t), где х = BD.

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Динамика материальной точки».

1. Сформулируйте основные законы динамики материальной точки (Галилея – Ньютона).

2. Запишите дифференциальные уравнения движения точки в векторной и координатной формах.

3. Повторите раздел кинематики: векторный и координатный способы задания движения точки.

4. Сформулируйте первую и вторую задачи динамики точки: постановка каждой задачи и ее решение.

Динамика точки (краткие сведения из теории)   Второй закон динамики точки в инерциальной системе отсчета: ,(1) где m – масса точки, – абсолютное ускорение точки, – векторная сумма сил, действующих на точку (равнодействующая). Уравнение (1) – это дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме. Спроектировав (1) на оси декартовой системы координат, получаем систему дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме: , , , (2) где и т.д. Первая задача динамики точки: заданы уравнения движения точки в координатной форме (см. задачу К1) , , ; (3) найти силу , действующую на точку. Решение: получив дифференциальные уравнения (2), дифференцируем заданные функции (3), подставляем в (2), находим , , и . Вторая задача динамики точки (основная): задана сила , действующая на точку; найти кинематические уравнения движения (3) точки. Решение: составив уравнение (1) и спроектировав его на оси, получим уравнения (2). Добавив начальные условия (при ) , , , , , проинтегрируем (2) и найдем (3).

Рис. Д1.6

Таблица Д1

Номер условия	m, кг	, м/с	Q, H	R, H	l, м	t1, с	Fx, H
				0,4V	-	2,5	2sin(4t)
	2,4			0,8V 2	1,5	-	6t
	4,5			0,5V	-		3sin(2t)
				0,6V 2		-	-3cos(2t)
	1,6			0,4V	-		4cos(4t)
				0,5V 2		-	-6sin(2t)
	1,8			0,3V	-		9t2
				0,8V 2	2,5	-	-8cos(4t)
				0,5V	-		2cos(2t)
	4,8			0,2V 2		-	-6sin(4t)

Указания. Задача Д1 – на составление и интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение первой и второй задач динамики точки). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить векторное уравнение движения точки (груза) на участке AB, спроектировать это уравнение на координатную ось, направленную вдоль AB, и проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, учитывая начальные условия (вторая задача динамики точки). Затем, зная время движения на участке АВ или его длину, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС.

После этого нужно составить векторное уравнение движения точки (груза) на участке BC и спроектировать это уравнение на две координатные оси, направленные вдоль BC и перпендикулярно BC. Так как в первое полученное уравнение входит сила трения , то нужно сначала найти нормальную реакцию N из второго уравнения (первая задача динамики точки). Затем нужно подставить найденное значение N в первое уравнение и проинтегрировать это уравнение с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая, что в этот момент времени t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти в уравнении от переменных , t к переменным , х, учитывая, что

.

Рис. Д1

Пример Д1.На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления ; расстояние от точки А, где V = V0, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F (t), заданная в ньютонах. Дано: т=2 кг, R = mV 2, где m = 0,4 кг/м, V0 = 5 м/с, l = 2,5 м, Fх = 16 sin (4t). Определить: х = f (t) – закон движения груза на участке ВС.

Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и приложенные к нему силы и . Запишем дифференциальное уравнение движения груза в векторной форме:

. (1)

Проводим ось Az в сторону движения точки и проектируем (1) на эту ось:

, (2)

где учтено, что , . Подчеркнем, что в уравнении (2) все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учитывая, что и делая замену , получим уравнение

. (3)

Разделим обе части (3) на m и введем обозначение

.

Тогда уравнение (3) приобретает вид

. (4)

Решим уравнение (4). Разделим переменные V и z, выполнив два действия: обе части (4) умножим на dz и разделим на ; получим:

.

Интегрируя это уравнение, найдем:

. (5)

Находим C₁. Подставим в (5) начальные условия: , , .

.

Найденное выражение для C₁ подставляем в (5):

,

или

и .

Отсюда

. (6)

Полагая в равенстве (6) z = l = 2,5 м, , , е = 2,7 и подставляя ранее найденное k = 0,2 м ^-1, определим скорость груза в точке В:

(7)

2. Рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью ( ). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы (активные и реакции связей): Запишем дифференциальное уравнение движения груза в векторной форме:

. (8)

Проведем из точки В оси Вх (в сторону движения точки) и Вy и проектируем (8) на ось Вх:

, (9)

где учтено, что , , . Сила N неизвестна; следовательно, прежде чем интегрировать (9), найдем N, решив первую задачу динамики точки. Для этого спроектируем векторное уравнение (8) на ось Вy:

. (10)

Учтем, что движение точки происходит по прямой, и, следовательно, . Тогда из (10) получаем . Подставим этот результат в (9):

Подставим в это уравнение заданные численные значения (чтобы избежать громоздкой записи). Тогда получим

(11)

Решим уравнение (11).Разделим переменные V_x и t. Умножим обе части (11) на dt:

;

интегрируя, найдем

(12)

Находим C₂. Подставим в (12) начальные условия: , , где дается равенством (7). Найденное значение С₂ = 8,4 подставляем в (12):

.

Так как , то

. (13)

Решим уравнение (13).Разделим переменные x и t. Умножим обе части (13) на dt:

;

интегрируя, найдем

(14)

Находим C₃. Подставим в (14) начальные условия: , . Найденное значение С₃ = 0 подставляем в (14):

.

Ответ: , где х – в метрах, t – в секундах.

Задача Д2

(тема “Теорема о движении центра масс системы”)

Механическая система состоит из грузов D₁ массой m₁ = 2 кг и D₂ массой m₂ = 6 кг и из прямоугольной вертикальной плиты массой m₃ = 2 кг, движущейся вдоль горизонтальных гладких направляющих (рис. Д2.0-Д2.9, табл. Д2). В момент времени t₀ = 0, когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющим собой окружности радиусов r = 0,4 м и R = 0,8 м.

При движении грузов угол изменяется по закону , а угол – по закону . В табл. Д2 эти зависимости даны отдельно для рис. 0-4 и 5-9, где j выражено в радианах, t – в секундах.

Считая грузы материальными точками, определить закон изменения со временем величины, указанной в таблице в столбце “Найти”, т.е. и , где x₃ – координата центра C₃ плиты ( – закон движения плиты), N – полная нормальная реакция направляющих.

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему «Теорема о движении центра масс». Ответьте на вопросы:

1. Что называется механической системой? Понятие о внешних и внутренних силах, действующих на точки системы.

2. Что такое центр масс системы? Запишите формулы для координат центра масс системы.

3. Сформулируйте теорему о движении центра масс и запишите уравнение движения центра масс системы в векторной и координатной формах.

4. Запишите условия, при которых координата центра масс остается постоянной.

Таблица Д2

Номер Условия	Рис. 0-4	Рис.5-9	Найти
					x3
					N
					x3
					N
					x3
					N
					x3
					N
					x3
					N

Рис. Д2.0	Рис. Д2.1
Рис. Д2.2	Рис. Д2.3
Рис. Д2.4	Рис. Д2.5
Рис. Д2.6	Рис. Д2.7
Рис. Д2.8	Рис. Д2.9

Теорема о движении центра масс системы (краткие сведения из теории)   Основные понятия Механической системой называется множество взаимодействующих точек и тел. Центром масс системы называется геометрическая точка C, декартовы координаты которой равны , , , где , , – координаты точки системы, – масса точки, – масса системы. Силы взаимодействия точек системы называются внутренними силами; они обозначаются . Силы, действующие на точки системы со стороны точек и тел, не входящих в систему, называются внешними силами; они обозначаются . Свойства внутренних сил: главный вектор , главный момент .   Дифференциальное уравнение движения центра масс системы в векторной форме , (1) где M – масса системы, – абсолютное ускорение центра масс системы, – векторная сумма внешних сил, действующих на точки системы. По форме уравнение (1) совпадает с дифференциальным уравнением движения материальной точки и теорема о движении центра масс системы формулируется следующим образом: Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действуют силы, приложенные к точкам системы. Следовательно, применяя эту теорему, можно решать две задачи динамики, аналогично задаче Д1.

Частные случаи (законы сохранения движения центра масс). а) Из уравнения (1) следует: если внешние силы таковы, что , то и, следовательно, ; это означает, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно. б) Записав уравнение (1) в проекции на ось, получим . (2) Частный случай: если выполнены одновременно два условия и при , то – координата центра масс системы остается постоянной и равной своему начальному значению , где – координата центра масс в произвольный момент времени, – координата центра масс в начальный момент времени.

Указания.Задача Д2 – на применение теоремы о движении центра масс системы. При решении этой задачи следует составить дифференциальное уравнение движения центра масс системы в векторной форме. Для определения следует cпроектировать это уравнение на горизонтальную ось x (решаем вторую задачу динамики), а для определения N – на вертикальную ось y (решаем первую задачу динамики).

Рис. Д2

Пример Д2.Механическая система состоит из грузов D1 массой m1 и D2 массой m2 и из прямоугольной вертикальной плиты массой m3, движущейся вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д2). В момент времени t0=0, когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представ-ляющим собой окружности радиусов r и R, по законам и .

Дано: m₁ = 6 кг, m₂ = 8 кг, m₃ = 12 кг, r = 0,6 м, R = 1,2 м, , (t – в секундах).

Определить: – закон движения плиты, – закон изменения со временем полной нормальной реакции направляющих.

Решение.Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и грузов D₁ и D₂ в произвольном положении (рис. Д2). Изобразим на рисунке действующие на систему внешние силы: силы тяжести , , и реакцию направляющих . Запишем уравнение движения центра масс системы в векторной форме:

. (1)

Проведем координатные оси Oxy так, чтобы ось y проходила через точку C₃₀, где находился центр масс плиты в момент времени t₀=0.

а) Определение перемещенияx₃(t) (вторая задача динамики). Для определения спроектируем уравнение (1) на ось x. Получим

или , (2)

так как все внешние силы перпендикулярны оси x и поэтому .

Отметим также, что при . Поэтому, интегрируя дважды уравнение (2), получим:

(3)

(закон сохранения координаты центра масс системы). Из (3) следует, что

. (4)

Определим значение . Координата x_C центра масс системы определяется по формуле

. (5)

Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени абсциссы грузов равны соответственно , . Подставляя эти выражения в формулу (5) и учитывая заданные зависимости и от t, получим

. (6)

Определим значение . Подставляя в (6) t=0, x₃(0)=0, получим

. (7)

В соответствии с уравнением (4), приравниваем правые части (6) и (7):

.

Отсюда получаем зависимость от времени координаты x₃.

Ответ: м, где t – в секундах.

б) Определение реакцииN (первая задача динамики). Для определения спроектируем векторное уравнение (1) на вертикальную ось y (см. рис. Д2):

или . (8)

Отсюда получим, учитывая, что P₁=m₁g, и т.д.:

, (9)

где пока неизвестно. Для нахождения определим сначала . Координата y_C центра масс системы определяется по формуле

. (10)

Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени ординаты грузов равны соответственно , , а .