Выпускная квалификационная работа бакалавра

Потеря устойчивости мостичного амортизатора из эластомера

Направление 010400

Прикладная математика и информатика

Научный руководитель,
кандидат физ.-мат. наук,
доцент
Кабриц С.А.

Санкт-Петербург

Содержание

Введение................................................................................................. 3

Постановка задачи................................................................................. 4

Обзор литературы................................................................................. 6

Глава 1. Математическая формулировка задачи................................. 7

1.1. Основные зависимости для арки-полоски.................................. 8

1.2. Решение поставленной задачи................................................... 12

Глава 2. Методы численного решения............................................... 15

2.1 Метод стрельбы.......................................................................... 16

2.2 Метод продолжения по параметру............................................ 17

Глава 3. Анализ результатов.............................................................. 18

3.1 Алгоритм нахождения точки бифуркации................................ 18

3.2. Бифуркация................................................................................ 20

3.3. Изолированное решение........................................................... 27

Выводы................................................................................................. 31

Заключение........................................................................................... 32

Список литературы.............................................................................. 33

Введение

Во многих областях современной техники для снижения перегрузок при ударе и изоляции вибраций широко используются различные типы амортизаторов. В одних случаях они защищают основание от действия динамических сил, в других позволяют уменьшить динамические воздействия, передаваемых на амортизируемый объект от движущегося с переменным ускорением основания.

Для поглощения перегрузок, испытываемых конструкцией при ударных воздействиях, необходимо применение амортизаторов, имеющих мягкую характеристику. Такими амортизаторами являются, в частности, амортизаторы мостичного типа. Изменяя геометрические и физические параметры эластомеров, можно изменять вид их упругой характеристики, что особенно важно для противоударных амортизаторов. Наличие значительного внутреннего трения в материале позволяет достичь хорошей виброизоляции в области высоких частот и уменьшить возможность возникновения резонансных колебаний с большими амплитудами.

Основная сложность при расчетах деформаций различных изделий из эластомера возникает из-за нелинейности задачи.

Постановка задачи

В рамках нелинейной теории тонких оболочек из эластомера [4] рассматривается задача о бифуркации мостичного амортизатора при сжатии. Под бифуркацией понимается ответвление от симметричного решения в несимметричное.

Рис. 1. Рассматриваемый мостичный амортизатор

Амортизатор представляет собой две симметричные резиновые пластины по бокам, наклоненные под некоторым углом к плоскости симметрии амортизатора. Они привулканизированы к металлическим пластинам снизу (нижнее основание) и сверху (верхнее основание) (рис. 1).

Целью работы является исследовать бифуркации от симметричного состояния при различных конфигурациях системы (рис. 2) и выяснить, при каких начальных углах они возможн­­­ы.

Несимметричная конфигурация

Симметричная конфигурация

Рис. 2. Конфигурации амортизатора при сжатии

В отличии от [1], в качестве краевых условий у верхнего основания рассматривается шарниное опирание. Как показали эксперименты, при вулканизации у верхнего основания реализуется именно шарнирное опирание, а у нижнего – жесткая заделка, на что обратил внимание академик Новожилов В.В. В настоящей работе предполагается, что верхнее основание амортизатора может сдвигаться вбок, оставаясь параллельным нижнему основанию.

Программная реализация решения поставленной задачи написана в среде MATLAB.

Обзор литературы

В 1981 вышла статья [2], в которой исследуется симметричное сжатие мостичного амортизатора. Построены жесткостные характеристики для разных начальных углов и толщин, приведена граница раздела областей мягкой и жесткой характеристик амортизатора. Основы нелинейной теории упругости для эластомеров были заложены Черныхом К.Ф. [3]. В [1] рассмотрена бифуркация подобной модели при условии заделки у верхнего основания. Также, там предполагается, что металлическая пластина имеет возможность поворачиваться.

В [4] группой авторов были изложены основные разделы нелинейной теории упругих оболочек из эластомеров. В работах [5–6] Кабриц С.А. и Колпак Е.П. описывают способы численного поиска точек ветвления и связанные с этим проблемы.

В учебнике [7], Бахвалов Н.С. описал метод стрельбы применительно к решению нелинейных краевых задач для систем дифференциальных уравнений.

В работе [8] подробно излагается приложение метода продолжения по параметру к проблеме неединственности решения нелинейных задач теории упругих оболочек.

В учебнике [9] подробно освещаются вопросы устойчивости механических систем, определяются критические нагрузки, предельные точки и точки бифуркации. Пановко Я.Г. и Губанова И.И. в работе [10] объяснили использование метода деидеализации для нахождения бифуркационных ветвей на примере задачи о внецентренном сжатии стержня.

Различные вопросы о подобных амортизаторах рассматриваются уже в течение многих лет. Например, в вестнике МГТУ им. Баумана в статьях [11–12] рассматривается модель нелинейного плоского напряженного состояния теории упругости при допущении сжимаемости материала. Были проведены расчеты деформаций мостичных амортизаторов с помощью МКЭ.