Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
231. Дана функция .
Показать, что .
232. Дана функция .
Показать, что .
233. Дана функция .
Показать, что .
234. Дана функция .
Показать, что .
235. Дана функция .
Показать, что .
236. Дана функция . Показать, что .
237. Дана функция .
Показать, что .
238. Дана функция .
Показать, что .
239. Дана функция .
Показать, что .
240. Дана функция .
Показать, что .
251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
251. z=x2+y2-9xy+27; 0≤x≤3, 0≤y≤3.
252. z=x2+2y2+1; x≥0, y≥0, x+y≤3.
253. z=3-2x2 -xy-y2; x≤1, у≤х, у≥0.
254. z=x2+3y2+x-y; x≥1, y≥-1, х+y≤1.
255. z=x2+2xy +2y2; -1≤x≤1, 0≤y≤2.
256. z=5x2-3xy +y2+4; x≥-1, y≥-1, х+y≤1.
257. z=10+2xy -x2; 0≤y≤4- x2.
258. z=x2+2xy -y2+4 x; x≤0, y≤0, х+y+2≥0.
259. z=x2 +xy-2; 4 x2-4≤y≤0.
260. z=x2+xy; -1≤x≤1, 0≤y≤3.
261-270.Дана функция z=z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор . Найти: 1) в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .
261. .
262. .
263. .
264. .
265. .
266. .
267. .
268. .
269. .
270. .
Неопределённый и определённый интегралы
281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.
281. а) ; б) ;
в) ; г) .
282. а) ; б) ;
в) ; г) .
283. а) ; б) ;
в) ; г) .
284. а) ; б) ;
в) ; г) .
285. а) ; б) ;
в) ; г) .
286. а) ; б) ;
в) ; г) .
287. а) ; б) ;
в) ; г) .
288. а) ; б) ;
в) ; г) .
289. а) ; б) ;
в) ; г) .
290. а) ; б) ;
в) ; г) .
301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
301. . 302. . 303. . 304. . 305. . 306. .
307. . 308. . 309. . 310. .
Дифференциальные уравнения
321-330. Найти общее решение дифференциального уравнения.
321. . 322. .
323. . 324. . 325. .
326. . 327. .
328. . 329. .
330. .
341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
341. ; , .
342. ; , .
343. ; , .
344. ; , .
345. ; , .
346. ; , .
347. ; , .
348. ; , .
349. ; , .
350. ; , .
Двойные и криволинейные интегралы
351-360.Вычислить двойные интегралы по области D.
351. , где D – область, ограниченная линиям
352. , где D – область, ограниченная линиями
353. , где D – область, ограниченная линиями
354. , где D – область, ограниченная линиями
355. где D – область, ограниченная линиями
356. , где D – область, ограниченная линиями
357. где D – область, ограниченная линиями
358. где D – область, ограниченная линиями
359. , где D – область, ограниченная линиями
360. где D – область, ограниченная линиями
.
371 – 380. Вычислить криволинейные интегралы
371. где L – контур треугольника, образованного осями координат и прямой в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки.
372. где L – дуга параболы от точки О (0;0) до точки
А(2;4).
373. где L – контур прямоугольника, образованного прямыми
в положительном направлении (против часовой стрелки).
374. вдоль кривой .
375. вдоль кривой от точки О (0;0) до точки А(1;1).
376. вдоль отточки О (0;0) до точки А(1;1).
377. , где L – четверть окружности 0 , против часовой стрелки.
378. , где L – первая арка циклоиды 0 .
379. вдоль линии от точки О (0;0) до точки А(1;1).
380. вдоль отрезка ОА, О (0;0), .
Ряды
421-430. Исследовать сходимость числового ряда.
421. . 422. . 423. . 424. . 425. . 426. .
427. . 428. . 429. . 430. .
431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда.
431. . 432. . 433. .
434. . 435. . 436. .
437. . 438. . 439. .
440. .
441-450. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд, и, затем, проинтегрировав ее почленно.
441. . 442. . 443. .
444. . 445. . 446. .
447. . 448. . 449. . 450. .
451 – 460.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .
451. 452.
453. 454.
455. 456.
457. 458.
459. 460.
461 – 470.Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .
461. в интервале
462. в интервале
463. в интервале
464. в интервале
465. в интервале
466. в интервале
467. в интервале
468. в интервале
469. в интервале
470. в интервале