Математическая формулировка задач

Проектирования ТСД

При проектировании технических средств выбор принимаемых решений, как правило, неоднозначен, а возможности проектирвщика ограничены требованиями согласованного взаимодействия элементов системы диагностирования. В связи с этим проектирование ТСД должно включать этапы оптимизации. Методы теории оптимизации позволяют определить, чего можно достичь в заданных условиях и при наличии определенных ограничений, т.е. определить потолок возможностей при разработке ТСД.

При проектировании учитывается, что оптимизация отдельных частей ТСД не гарантирует глобального оптимума. Поэтому ТСД должны оптимизироваться в целом по количественно определенному критерию, который зависит как от заданных (известных), так и от искомых показателей, как единый объект с определенным целевым назначением.

Обязательным элементом формализации проектирования ТСД является задание критерия качества, который должен устанавливаться заказчиком или согласовываться с ним. При выборе вида критерия качества необходимо руководствоваться следующими рекомендациями:

отражать основное назначение и соответствовать цели диагностирования, учитывать как показатели ТСД, так и показатели ОД;

быть критичным по отношению к параметрам, определяющим его значение, и давать возможность сравнения различных вариантов ТСД;

быть наглядным и по возможности просто определяемым, иметь ясный физический смысл.

Основной особенностью рассматриваемого класса объектов является требование постоянной готовности их к использованию по назначению. В качестве критерия К (14.1) можно применять показатель готовности П_Г – вероятность сохранения работоспособности объекта в заданный момент времени на этапе организации СД.

Следует иметь в виду, что показатель готовности отличается от коэффициента готовности К_Г, который берется как комплексный показатель надежности и не учитывает контролепригодность и организацию использования ОД, а также безотказность, ремонтопригодность ТСД и организацию процесса диагностирования. Поэтому рекомендовать коэффициент готовности как критерий качества ТСД нецелесообразно.

Наличие критерия, функционально зависящего как от показателей ОД, так и показателей ТСД, позволяет решить задачи предварительного этапа проектирования ТСД:

выбрать решаемые задачи диагностирования;

определить число каналов ТСД;

определить долю встраиваемых в объект средств и уточнить требования по безотказности, контролепригодности и ремонтопригодности ОД и ТСД;

определить погрешность измерений и достоверность диагностирования при заданных показателях объекта и выбранной организации использования.

На завершающих этапах в качестве критерия может найти применение достоверность диагностирования, характеризуемая как вероятность правильного заключения ТСД о состоянии ОД, позволяющая оценить степень совершенства построения различных вариантов ТСД.

Для решения задач первого этапа предложенной процедуры целесообразно определить набор целевых функций, характерных для отдельных этапов. В общем виде количественной оценкой качества ТСД является значение критерия качества К, представляющего собой некоторую функцию К = f(Y,X) показателей технических средств и объекта X и Y.

Объект и технические средства диагностирования описываются некоторыми конечными дискретными множествами показателей Y = (y₁,...,y_j,...,y_n), и X = (x₁,...,x_i,...,x_m), .

Часто в качестве показателей , характеризующих ОД, используются число параметров, элементов, выходов, показателей надежности, избыточность, тип объекта (активный – пассивный), возможность тестового воздействия, величина обучающей выборки и т.п. ТСД характеризуется показателями : достоверность, стоимость, время диагностирования, объем памяти и т.п. В зависимости от решаемых задач диагностирования из множества Y и X выбираются показатели, специфичные для рассматриваемого объекта и вида ТСД.

Элементы множеств X и Y образуют (m+n) – мерное пространство возможных вариантов ТСД, соответствующих возникающим (m+n) постановкам задач на проектирование ТСД. Каждому варианту ТСД из пространства возможных проектов соответствует (m+n) – мерный вектор показателей, который количественно характеризует проектируемые ТСД.

В общем случае оптимальному проектированию подлежит структура, описываемая вектором показателей Х с ограничениями и уравнениями связи К = f(X,Y). При таком описании искомым является набор показателей, удовлетворяющих ряду условий, которые определяются задачей оптимизации: К_тр или К_орt, т.е. разработка проекта, удовлетворяющая заданным требованиям, или оптимального проекта. Допустимым проектом считается проект с вектором показателей X = (x₁,...,x_i,...,x_m), компоненты которого удовлетворяют ограничениям , доставляющим параметрам ТСД значения, удовлетворяющие ограничениям . Оптимальным проектом ТСД считается допустимый вектор показателей Х, достигающий экстремума целевой функции.

Если может быть получена зависимость, связывающая показатели ОД и ТСД, то для предварительного этапа процедуры проектирования ее можно использовать в качестве целевой функции вида К = f(X,Y). С учетом такой целевой функции оптимизационная задача в общем виде для этого этапа будет:

найти opt К(X,Y)

при , , , , (16.1)

т.е. для элементов СД необходимо выбрать такие значения показателей X и Y, чтобы обеспечить оптимальное значение целевой функции. Число ограничений вытекает из требований технического задания, технических возможностей и физических соображений.

Если объект спроектирован или на него заданы требования, то задача (16.1) приобретает вид:

найти opt К(X,Y^*)

при Y^* = const, , .

Для целевых функций проектирования ТСД возможны три направления изменения показателей: максимизация, минимизация, максимизация с минимизацией. Например, стремление к максимуму характерно для таких показателей ТСД, как достоверность, быстродействие, а для показателей объекта – уровень готовности, глубина (интервал) прогнозирования. Стремление к минимуму находит применение для таких показателей ОД и ТСД, как объем аппаратуры, затраты на диагностирование и восстановление, стоимость и т.п. Третий вид оптимизации является наиболее общим, т.к. предпочтение может быть отдано как максимальным, так и минимальным значениям показателей.

В тех случаях когда требуется обеспечить заданное значение критерия качества К, оптимизационная задача может быть сформулирована следующим образом:

найти min d [K(X,Y)-K_тр]

при , , , . (16.2)

Задача (16.2) при известных показателях объекта принимает вид:

найти min d [K(X,Y^*)-Kтр]

при Y^*=const, , ,

что позволит определить требования к ТСД для заданного значения критерия качества.

При решении задачи первого этапа процедуры проектирования ТСД в качестве варьируемых могут выступать как все показатели в случае минимальной априорной информации, так и их сочетания (безотказность, контролепригодность, ремонтопригодность и достоверность) или отдельные показатели (число каналов, доля встраиваемых в объект средств и др.).

На втором этапе процедуры проектирования ТСД, когда основные показатели элементов СД известны, при наличии упорядоченной совокупности методов решения отдельных задач диагностирования необходимо выбрать метод, наиболее полно удовлетворяющий заданным требованиям Х^* и Y^*. Для этого в базисе определенных требований нужно описать существующие методы, а задачу выбора метода диагностирования можно сформулировать как оптимизационную вида:

найти min d [ ]

при ,

где M^* = (Х^*,Y^*) – вектор заданных значений показателей ТСД и ОД; = (Х_j, Y_j) – вектор значений показателей ОД и ТСД, присвоенный методу M_j.

Выбранный метод диагностирования в дальнейшем при реализации процедуры может выступать как ограничение при разработке алгоритма процесса диагностирования.

При решении задач третьего этапа ТСД основой является алгоритм процесса диагностирования, включающий L операторов действия. Качество алгоритма оценивается по различным показателям: времени реализации, стоимости, объему, надежности привлекаемых функциональных элементов и т.п. В общем виде оптимизационная задача для этого этапа может быть сформулирована следующим образом:

найти ,

при , .

Приведенные варианты задач ТСД перекрывают широкий диапазон возможных случаев, которые могут возникнуть при реализации предложенной процедуры проектирования.

Задача проектирования ТСД после задания целевой функции формализуется, и процесс отыскания оптимального варианта будет состоять в решении задачи математического программирования известными методами. Целевая функция, математическая формулировка задачи и метод оптимизации должны быть общими для широкого класса ТСД.