Формула Симпсона. Алгоритм, блок-схема. Геометрическая иллюстрация. Оценка погрешности.

b

n

Найдем коэффициенты формулы ò f (x) = (b - a)å yi H i ,

a

i=0

где H i

=

1 n

(-1)n-i t(t -1)...(t - n)

dt

, i=0,1,…,n при n=2.

n ò

i! (n - i)! (t

- i)

При i = 0

2 t(t -1)(t -2)

æ t 3

3t 2

ö

æ

ö

H

=

dt

=

(t 2

- 3t + 2)dt =

ç

-

+ t ÷

=

- 6

+ 4

=

×

=

ò

ò

ç

÷

× 2 × t

ç

÷

4 3 6

è

ø

4 è 3

ø

При i = 1

2 (-1)t(t -1)(t - 2)

æ t 3

ö

1 æ 8

ö

H

=

dt

= -

(t

- 2t)dt = -

ç

- t

÷

= -

- 4

=

×

=

ò

ò

ç

÷

1×1× (t -1)

ç

÷

2 3 3

è

ø

2 è 3

ø

При i = 2

2 t(t -1)(t -2)

æ t 3

t 2

ö

æ

ö

H

=

dt

=

(t 2

- t)dt =

ç

-

÷

=

- 2

=

×

=

ò

ò

ç

÷

1× 2

× (t - 2)

ç

3 2

÷

4 3 6

è

ø

4 è 3

ø

b

n

Формула ò f (x) = (b - a)å yi H i на отрезке [x0, x2] примет вид:

a

i=0

x2

n

æ 1

ö

ò f (x)dx »(x2- x0)×åH i yi =2hç

y0+

y1

+

y2

÷

x0

i=0

è 6

ø

x2		2h æ							ö
ò	f (x)dx »		+ 2 y1 +
	ç		y0		y		÷
x0		è					ø

При n=2m применив формулу к каждой паре частичных отрезков [x_2i-2, x_2i] (i=1,2,…,m)

получим формулу Симпсона:

b

2h æ y + y

ö

ò f (x)dx »

ç

2m

+ 2 y1 + y2

+ ... + 2 y2m-1 ÷ =

a

è

ø

=

2h æ y

- y

2m

+ (2 y

+ y

) + (2 y

+ y

) + ... + (2 y

+ y

ö

ç

2m-1

) ÷

è

2m

ø

b

b

Рассмотрим погрешность: ò f (x)dx =òLn (x)dx + Rn (x)

a

a

На отрезке [a, b] R =

h4(b - a)

f IV (x ), x Î[a, b]

n

или

Rn

£ M

b - a

h4

, где M = max

f IV (x)

xÎ[a,b]

При

вычислении

по

методу

повторного

счета можно использовать формулу:

R2n

£

I n

- I 2n

. Если при вычислении интеграла требуемая точность не достигнута (т.е.

I _n - I _2n>15e ),предусматривается повторный счет с шагом,уменьшенным вдвое.

Программа вычисления по формуле Симпсона методом повторного счета:

program lab4_2;

var n: integer;

S,a,b,e,h,x,I_n,I_n2,M: real;

function f(x: real):real;

begin {записать, функцию в виде f:=[математическое выражение]} f:=sin(x); end; begin

write('Введите концы отрезка интегрирования: '); readln(a,b);

write('Введите погрешность e: '); readln(e);

I_n:=0;

n:=4;

Repeat

h:=abs(b-a)/n;

s:=(f(a)-f(b))/2;

x:=a+h;

repeat s:=s+2*f(x)+f(x+h);

x:=x+2*h;

until x>=b;

I_n2:=2*h*s/3;

n:=n*2;

M:=abs(I_n - I_n2);

I_n:=I_n2;

Until M<=15*e;

writeln('Интеграл I=',I_n2:12:7);

readln;

end.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное интегрирование уравнений порядка выше, чем первый. Решение систем дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:

y¢ = f (x, y)

Решением

Дифференциального

Уравнения

(1)

(1) называется функция

y(x),

подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: y¢(x) = f (x, y(x)) .

График решения y=y(x) называется интегральной кривой.

Задача Коши для дифференциального уравнения(1)состоит в том,чтобы найтирешение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀ (2).Пару чисел (x₀,y₀) называют начальными данными.

Решение задачи Коши называется частным решением дифференциальногоуравнения (1)при условии(2).

Геометрически задача Коши означает, что требуется найти интегральную кривую y=y(x),проходящую через заданную точку (x₀,y₀).

Теоремао существовании и единственности решения задачи Коши.

Пусть функция f(x,y) – правая часть уравнения y¢ = f (x, y) - непрерывна вместе со

своей частной производной по переменной y	¶f (x, y)	в некоторой области D на
dy

плоскости. Тогда при любых начальных данных (x₀,y₀)ÎD задача Коши имеет единственное решение y=y(x).

При выполнении условий теоремы через точку (x₀,y₀) на плоскости проходит единственная интегральная кривая.

В классическом анализе разработано немало приемов решения дифференциальных уравнений, однако при решении практических задач эти методы не дают результата. В этом случае прибегают к методам приближенного решения дифференциальных уравнений. В зависимости от формы представления решения выделяют

· аналитические методы(решение в виде аналитического выражения);

· графические методы(решение в виде графика);

· численные методы(решение в виде таблицы).

Численное решение задачи Коши состоит в том, чтобы получить искомое решение y(x) в виде таблицы его приближенных значений аргумента x на некотором отрезке [a, b]:

x0=a, x1, x2, …, xm=b

(3)

Точки (3) называют узловыми, множество этих точек называют сеткой наотрезке [a, b].

Как правило, используют равномерную сетку с шагом h: h = ^b _m^-a x_i=x₀+ih (i=0, 1, …, m)

Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых точках обозначим y_i.

y_i » y(x_i),где(i=0, 1, …, m)

Начальное условие выполняется точно: y₀ = y(x₀).

Величина погрешности численного решения задачи Коши на сетке отрезка [a, b] оценивается величиной d = max{ yi - y(xi )},

1£i£m

т.е. расстоянием между векторами приближенного решения (y₀, y₁, …,y_m) и точного решения (y(x₀), y(x₁), …,y(x_m)) на сетке по m-норме.

{ y’=f(x, y); (1)

y(x₀)=y₀;

Решить обыкновенное диф. ур. – найти функ y=y(x), которая при подстановке даёт тождество.

Существование и единственность решения ур. (1) обеспечиваются теоремой. Теорема Пикара: если функ. f определена и непрерывна в некоторой области G,

определяемой неравенствами:

|x–x₀|≤a,|y–y₀|≤b,

и удовлетворяет в этой области условию Липшица по y:

|f(x, y₁)–f(x, y₂)|≤M|y₁–y₂|,

то на некотором отрезке |x–x₀|≤h, где h – положительное число, существует, и при том только одно, решение y=y(x) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

y₀=y(x₀).

M=max|f’_y(x, y)|–константа Липшица.

Для нормальных систем ОДУ используются те же методы,только в векторной форме:

y’=f(x, y),гдеy=(y₁(x),...,y_n(x)); f(x, y)=(f₁,...,f_n);

Уравнения более высокого порядка принято сводить к системе:

Пусть:

y(n)=F(x, y(n-1),..., y);

Обозначим:

z₁=y;

z₂=y’;

………

z_n=y^(n-1);

Вместо ур. запишем систему с переменной z:

|z’₁=z₂;

|z’₂=z₃;

{………

|z’_n-1=z_n;

|z’_n=F(x, z_n,…, z₁);

нормальная сист. диф. ур.

}

M1(x1,y1) равен x2=x1+h