БИЛЕТ..Формула трапеций. Геометрическая иллюстрация. Оценка погрешности

                                                            b                         n                      
Найдем коэффициенты формулы ò f (x) = (b - a)å yi H i   ,      
                                                            a                       i=0                      
где H i = 1 n (-1)n-i t(t -1)...(t - n) dt , i=0,1,…,n при n=1.              
                                                 
n ò     i! (n - i)! (t - i)              
                                                                             
                                                                                                         
            (-1)1 t(t -1)                                       æ t 2 ö              
                                                               
                    ò                                 ò                   ç       ÷                    
При i = 0 H     = 1 0     0!1! t     dt = -     (t -1)dt = -ç   - t ÷         =    
                                                          è   ø              
                                                                                 
              1 1   (-1)0 t(t -1)                   t                                
                                                                 
При i = 1 H 0 =           ò                   dt = ò tdt =             =                              
  1! 0! (t -1)                                          
    b                       n                                                                      
                                                                                             
                                                                                                         
Формула ò f (x) = (b - a)å yi H i         на отрезке [x0, x1] примет вид:  
    a                         i=0                                                                              
x1           æ               1 ö   h                                                              
                                                                                         
ò f (x)dx =(x - x0)ç y0     + y1     ÷ =           ( y0 + y1 )                                            
                                             
x0           è                 ø                                                              
                                                                                                           
                          b       æ y                                       y     ö        
Для отрезка [a, b]: ò                                           n          
f (x)dx =hç         + y1+ y2 + ... + yn-1 +         ÷   (*)  
                   
                          a       è                                         2 ø        
                                    b                         b                                            
Рассмотрим погрешность: ò f (x)dx =òLn (x)dx + Rn (x)                
                                    a                         a                                            
На отрезке [x   , x ]погрешность     R = - h3   f ¢¢(x ),   x Î[x , x ] .  
             
      0   1                                                                              
                                                                                                       

При f ¢¢(x) > 0 (*) дает значение интеграла с избытком; при f ¢¢(x) < 0 (*) дает значение интеграла с недостатком.





На отрезке [a, b] R = - h3 n f ¢¢(x ), x Î[a, b] .            
                 
n                          
                           
          b - a   h2 M =max   ¢¢      
                   
                 
           
Поскольку hn=|b-a|, то               , где .  
Rn   £ M          
                  xÎ[a,b]          
                       

Программа численного интегрирования методом трапеций:

program lab_4_1a;

var i,n :integer;

s,h,a,b,x :real;

function f(x: real):real;

begin {функция в виде f:=[математическое выражение]} f:=sin(x); end; begin

write('Введите левую и правую границы отрезка - '); readln(a,b); write('Введите шаг - '); readln(h); n:=round(abs((b-a)/h));

s:=0;

for i:=0 to n do

begin

x:=a+h*i;

s:=s+f(x);

end;

s:=h*(s-(f(a)+f(b))/2);

writeln('Искомый определенный интеграл равен ',s:10:6); readln;

end.

БИЛЕТ..Формула трапеций. Геометрическая иллюстрация. Оценка погрешности - student2.ru

Наши рекомендации