Множество стабилизирующих регуляторов

Как известно, не каждый регулятор стабилизирует систему. Поэтому важно выделить множество регуляторов, которые обеспечивают устойчивость замкнутого контура. Такие регуляторы называются стабилизирующими. Желательно также получить параметризацию, то есть, представить все множество стабилизирующих регуляторов в виде формулы, зависящей от параметра, который может выбираться произвольно в некоторой допустимой области.

Рассмотрим простейшую замкнутую систему:

Ее передаточная функция равна:

Регулятор входит в нее нелинейно, что значительно осложняет анализ и синтез системы. Заметим, что эту функцию можно представить в виде:

Выражение внешне выглядит как передаточная функция последовательного соединения объекта P(s) и «регулятора» Q(s) , причем оно линейно зависит от Q(s) . Поэтому естественно возникает вопрос: нельзя ли сначала выбрать нужным образом Q(s) , а затем найти соответствующий ей регулятор, выразив его передаточную функцию из :

Очевидно, что функция Q(s) должна быть устойчивой, иначе передаточная функция замкнутой системы W(s) также окажется неустойчивой. Оказывается, если объект P(s) устойчив, то регулятор, полученный из, всегда будет стабилизирующим. Более того, форма охватывает все возможные стабилизирующие регуляторы. Поэтому – это параметризация множества стабилизирующих регуляторов для устойчивого объекта, она называется параметризацией Юла.

Параметром в является устойчивая функция Q(s) , которая может выбираться произвольно. На практике регулятор должен быть физически реализуемым. Это значит, что передаточная функция C(s) должна быть правильной (степень ее числителя не больше степени знаменателя). Для этого функция Q(s) также должна быть правильной.

Теоретически для оптимального слежения нужно выбрать Q(s) = 1/ P(s) , что дает W(s) = 1, однако чаще всего это невозможно. Дело в том, что передаточная функция объекта в практических задачах – строго правильная (степень числителя меньше степени знаменателя), и Q(s) получается неправильной. Поэтому используют компромиссные решения, обеспечивая приближенную инверсию только для наиболее важной полосы частот.

Существует множество методов синтеза, в которых устойчивая и правильная функция Q(s) выбирается в результате численной оптимизации по какому-либо критерию. Затем передаточная функция регулятора рассчитывается по формуле.

Посмотрим, что получится, если попробовать применить такой подход для неустойчивого объекта с передаточной функцией

Выбрав Q(s) = 1, из получаем

При этом в произведении неустойчивый полюс модели объекта сокращается (компенсируется) неустойчивым нулем регулятора. Характеристический полином

Δ(s) = s −1+ (s − 2)(s −1) = (s −1)2

будет неустойчивым, как и вся замкнутая система. Следовательно, параметризацию в этом случае использовать нельзя.

Для неустойчивых объектов используют другую, более сложную параметризацию.

Пусть

где n(s) и d(s) – полиномы. Выберем произвольный устойчивый полином f (s) ,степень которого равна наибольшей из степеней n(s) и d(s) . Представим функцию P(s) в виде отношения рациональных функций

Можно показать, что существуют такие правильные устойчивые функции X (s) и Y(s) , для которых выполняется равенство

U(s)X (s) +V(s)Y(s) = 1.

Тогда множество всех стабилизирующих регуляторов описывается формулой

где Q(s) – произвольная правильная устойчивая функция. Выражение определяет параметризацию множества стабилизирующих регуляторов (параметризацию Юла) в общем случае, даже для неустойчивых объектов. Подставив в формулу , получаем, учитывая,

W(s) = [X (s) +V (s)Q(s)]U(s) .

При синтезе можно выбирать устойчивую правильную функцию Q(s) , при которой передаточные функции замкнутой системы (по входу, по возмущению, по ошибке) имеют нужные свойства, а затем вычислять передаточную функцию регулятора, используя.

Инвариантность

Если возмущение g можно как-то измерить, для улучшения качества системы иногда вводится третий регулятор (третья степень свободы):

Теперь передаточная функция по возмущению равна

В этом случае теоретически есть возможность обеспечить полную компенсацию возмущения g , выбрав

так что W (s) = 0 g . Это условие называется условием инвариантности (неизменности), поскольку в этом случае система абсолютно подавляет любые возмущения по входу g . Заметим, что мы снова пришли к идее инверсии (построения обратной системы). К сожалению, на практике условие инвариантности чаще всего невыполнимо, потому что регулятор C3 (s) должен быть предсказывающим, так как нужно подать компенсирующий сигнал на привод раньше, чем внешнее возмущение успеет повлиять на объект. Чаще всего получается, что числитель передаточной функции C3 (s) должен иметь более высокую степень, чем знаменатель. Это значит, что такой регулятор включает звенья чистого дифференцирования, которые не являются физически реализуемыми. Обычно подбирают регулятор С3 (s) так, чтобы он был физически реализуемым, но условие приближенно выполнялось в наиболее важном диапазоне частот.