Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество.

Понятие множества – одно из основных понятий математики. Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как единое целое. Например, можно говорить о множестве натуральных чисел, о множестве букв на данной странице, о множестве корней данного уравнения и т. п. Понятие множества принимается как исходное, первичное, т. е. несводимое к другим понятиям. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами. Обычно множества обозначаются большими печатными буквами английского алфавита, например, множество А; а его элементы маленькими прописными буквами, например, элемент а.

Запись Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru означает, что элемент а принадлежит множеству А. Запись Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru - наоборот, Что элемент а множеству А не принадлежит. Знак Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru называют знаком принадлежности.

Определение 1. Два множества А и В называются равными и пишут А=В, если множества А и В содержат одни и те же элементы.

Например: {2, 4, 6} = {4, 2, 6} – равные множества.

Определение 2. Множество называется непустым, если содержит хотя бы один элемент.

Определение 3. Множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

В этом случае пишут Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru , знак Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru называют знаком включения.

Например: {2, 4,} Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru {4, 2, 6}

Рассмотрим свойства отношения включения.

рефлексивно, т.е любое множество является подмножеством самому себе.

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

транзитивно, т. е. для любых множеств А, В и С, если множество А является подмножеством множества В и множество В является подмножеством множества С, то из этого следует, что множество А является подмножеством множества С.

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

антисимметрично, т. е. для любых множеств А и В следует, что, если множество А является подмножеством множества В и в то же время множество В является подмножеством множества А, то множества А и В равны.

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустыммножеством.

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru Пустое множество обозначают Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Определение 5. Множество всех подмножеств множества A называется множеством-степенью и обозначается P(A).

В дальнейшем будем пользоваться следующим утверждением:

Утверждение 1. Число всех подмножеств конечного множества равно 2n.

Пример. Выделим все подмножества множества А ={2, 4, 6}.

Р(А)={2, 4, 6}, {2, 4}, {4, 6}, {2, 6}, {2}, {4 }, {6}, Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru - всего 23=8.

Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат одному из множеств А или В.

Для обозначения объединения множеств используют знак Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru .

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Пример. Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru , Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru , Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Пересечением множеств А и В называются такое множество, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Для обозначения пересечения множеств используют знак Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru .

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Пример. Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru , Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru , Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого являются элементами множества А, не принадлежащие множеству В.

Для обозначения разности множеств используют знак /.

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Пример. Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru , Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru , Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Перечислим основные свойства операций над множествами:

1) Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru идемпотентность объединения

2) Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru идемпотентность пересечения

3) Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru коммутативность объединения

4) Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru коммутативность пересечения

5) Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru ассоциативность объединения

6) Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru ассоциативность пересечения

7) Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru дистрибутивность объединения относительно пересечения

8) Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru дистрибутивность пересечения относительно объединения

Универсальное множество. Дополнение множества.

Во многих приложениях теории множеств рассматриваются только такие множества, которые содержатся в некотором фиксированном множестве. Например, в геометрии мы имеем дело с множеством точек данного пространства, в арифметике – с множеством целых чисел. Такое фиксированное множество называют универсальным.Для его обозначения используют букву U.

Определение 6. Множество U/А называется дополнением множества А и обозначается Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru (или Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru ).

Дополнение U/ Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru множества Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru обозначается Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Справедливы следующие формулы: Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru = Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru - закон инволюции.

Теорема. Если множество А является подмножеством множества В, то дополнение множества А будет являться подмножеством дополнения множества В.

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Доказательство.

Пусть множество А является подмножеством множества В, Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru , необходимо доказать, что для каждого элемента х из универсального множества U выполняется следующее условие: если элемент х принадлежит множеству Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru , то он принадлежит и множеству Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru .

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru .

Действительно, если х принадлежит множеству Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru , то он не принадлежит множеству В, а т. к. множество А является подмножеством множества В, то элемент х не принадлежит и множеству А, а это означает его принадлежность множеству Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru .

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Теорема. Имеют место следующие тождества

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru - Законы де Моргана для множеств

Приведем краткое доказательство первого утверждения.

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru Второе утверждение докажите самостоятельно.

Диаграммы Эйлера-Венна.

Для графического изображения множеств и их свойств используются так называемые диаграммы Эйлера-Венна.

Объединение множеств Пересечение множеств

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Разность множеств Подмножество

Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Универсальное множество Дополнение

       
  Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru   Множество и его элементы. Подмножество. Пустое множество. - student2.ru

Наши рекомендации