Метод наименьших квадратов

Пусть функция F в точках x₀,x₁,…,x_nимеет значения F(x₀),F(x₁),…,F(x_n) (2). Требование близости табличных значений y₀,y₁,…,y_n и значений (2) равносильно следующему: сумма квадратов

S=(y₀-F(x₀))²+(y₁-F(x₁))²+…+(y_n-F(x_n))² (3)

должна быть наименьшей.

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f часто используют следующие функции:

1) F(x)=a₁x+a₀ 5) F(x)=1/(cx+m)

2) F(x)=a₂x²+a₁x+a₀ 6) F(x)=clnx+m

3) F(x)=cx^m 7) F(x)=c/x+m

4) F(x)=ce^mx 8) F(x)=x/(cx+m)

Для нахождения коэффициентов a₀ и a₁ линейной функции из условия (3) получается система двух линейных уравнений:

, где , (4)

Коэффициенты квадратичной функции a₀, a₁, a₂ находятся из аналогичной системы

при тех же обозначениях S_k и t_k (5)

Нахождение приближающих функций вида 3)-8) сводится к нахождению линейной функции F(u)=a₁u+a₀ путем ввода новой переменной u по следующим правилам:

Вид функции F(x)	Вид переменной u и функции F(u)	Преобразование исходной таблицы	Выражения c и m через a0 и a1
F(x)=cxm	u=ln x F(u)=lnF(x)	x®lnx; y®lny	c=exp(a0); m=a1
F(x)=c×emx	u=x; F(u)=lnF(x)	x не меняется y®lny	c=exp(a0); m=a1
F(x)=1/(cx+m)	U=x; F(u)=1/F(x)	x не меняется y®1/y	c=a1; m=a0
F(x)=cln x+m	u=lnx; F(u)=F(x)	x® lnx; y не меняется	c=a1; m=a0
F(x)=c/x+m	u=1/x; F(u)=F(x)	x®1/x; y®	c=a1; m=a0
F(x)=x/(cx+m)	u=1/x; F(u)=1/F(x)	x®1/x; y®1/y	c=a0; m=a1

Решение одного варианта

По заданной таблице значений x и y, полученных экспериментально, построить методом наименьших квадратов две различные эмпирические формулы и сравнить качество полученных приближений

x	1.1	1.7	2.4	3.0	3.7	4.5	5.1	5.8
y	0.3	0.6	1.1	1.7	2.3	3.0	3.8	4.6

Точечный график изображен на рисунке:

Составим теперь систему вида (4): ,

где

Решив систему, получаем: a₀=-0.968, a₁=0.921. Приближающая функция имеет вид:

F₁(x)=0.921x -0.968 (6)

Для нахождения коэффициентов c и m степенной функции обозначим новые переменные u и F(u), т.е. u=lnx, F(u)=lnF(x), F(u)=lnc+mu=a₀+a₁u. По исходной таблице составляется новая таблица из логарифмов значений x и y:

	u	F(u)	uF(u)	u2
	0,095	-1,204	-0,114	0,009
	0,531	-0,511	-0,271	0,282
	0,875	-0,095	-0,083	0,766
	1,099	0,531	0,584	1,208
	1,308	0,833	1,090	1,711
	1,504	1,099	1,653	2,262
	1,629	1,335	2,175	2,654
	1,758	1,526	2,683	3,091
S	8,799	3,514	7,715	11,981

По числовым данным из новой таблицы составляется система уравнений вида (4):

Ее решения a₁=1.671, a₀=-1.399.

Находим значения параметров c и m: m=1.671, c=exp(-1.399)=0.247.

Приближающая функция имеет вид

F₂(x)=0.247x^1.671 (7)

Для сравнения качества приближений (6) и (7) вычислим суммы квадратов отклонений:

x	y	F1(x)	e1	e12	F2(x)	e2	e22
1,1	0,3	0,0451	0,2549	0,0650	0,2894	0,0106	0,0001
1,7	0,6	0,5977	0,0023	0,0000	0,5991	0,0009	0,0000
2,4	1,1	1,2424	-0,1424	0,0203	1,0662	0,0338	0,0011
	1,7	1,795	-0,095	0,0090	1,5483	0,1517	0,0230
3,7	2,3	2,4397	-0,1397	0,0195	2,1984	0,1016	0,0103
4,5		3,1765	-0,1765	0,0312	3,0493	-0,0493	0,0024
5,1	3,8	3,7291	0,0709	0,0050	3,7590	0,0410	0,0017
5,8	4,6	4,3738	0,2262	0,0512	4,6606	-0,0606	0,0037
				0,2011			0,0424

Как следует из последней таблицы, приближение в виде степенной функции в данном случае предпочтительнее.

Задание

По заданной таблице значений x и y, полученных экспериментально, построить методом наименьших квадратов две различные эмпирические формулы и сравнить качество полученных приближений.

Вариант 1

x	2.21	3.82	4.43	5.34	5.84	6.19	6.29	7.87	8.91	9.22
y	57.43	58.56	60.66	68.31	70.5	71.3	79.31	90.112	91.52	92.55

Вариант 2

x	-6.19	-4.45	-3.81	-3.48	-2.08	-1.28	0.12	0.84	1.81	5.44
y	99.17	82.52	82.16	70.24	66.48	63.23	61.02	48.35	44.56	40.24

Вариант 3

x	2.44	2.51	2.6	2.62	2.69	2.95	2.98	3.01	3.2	3.37
y	106.28	107.43	113.84	114.88	115.53	117.4	118.74	119.66	120.24	120.6

Вариант 4

x	3.78	3.87	4.21	4.23	4.33	2.95	4.87	5.14	5.59	5.61
y	65.72	60.05	59.74	58.05	56.81	55.79	50.83	47.69	45.82	44.49

Вариант 5

x	8.74	8.77	8.81	8.90	8.98	9.11	9.14	9.22	9.31	9.35
y	51.67	52.76	55.65	58.86	61.09	67.68	70.44	72.19	85.02	105.2

Вариант 6

x	-1.45	-1.82	-1.47	-0.09	0.28	0.86	1.13	2.52	3.36	3.75
y	23.22	28.76	35.14	39.27	40.55	52.09	55.18	59.44	62.33	65.48

Вариант 7

x	-10.15	-10.01	-9.96	-9.54	-9.22	-8.88	-8.69	-8.13	-7.85	-7.41
y	0.35	2.56	2.91	3.14	3.48	4.07	4.49	5.62	5.98	6.22

Вариант 8

x	2.34	2.67	2.92	3.09	3.78	4.12	4.55	4.92	5.21	5.75
y	-10.12	-10.03	-9.67	-9.34	-9.15	-8.68	-8.43	-8.26	-7.84	-7.11

Вариант 9

x	4.74	4.77	4.81	4.90	4.98	5.11	5.14	5.22	5.31	5.35
y	52.45	46.67	46.50	42.96	38.11	35.76	29.34	22.17	18.84	15.57

Вариант 10

x	5.44	5.51	5.6	5.62	5.69	5.95	5.98	6.01	6.2	6.37
y	-10.28	-10.43	-11.84	-11.88	-12.53	-12.74	-13.74	-13.66	-14.24	-14.6

Вариант 11

x	2.4	2.91	3.42	3.93	4.44	4.95	5.46	5.97	6.48	6.99
y	4.03	3.10	2.44	1.96	1.58	1.29	1.04	0.85	0.69	0.43

Вариант 12

x	1.16	1.88	2.60	3.32	4.04	4.76	5.48	6.20	6.92	7.64
y	0.18	0.26	0.32	0.36	0.40	0.43	0.46	0.48	0.50	0.51

Вариант 13

x	1.00	1.71	2.42	3.13	3.84	4.55	5.26	5.97	6.68	7.39
y	12.49	4.76	2.55	1.60	1.11	0.82	0.63	0.50	0.41	0.36

Вариант 14

x	-0.64	-0.36	-0.08	0.20	0.48	0.76	1.04	1.32	1.60	1.88
y	29.51	18.86	12.05	7.70	4.92	3.14	2.01	1.28	0.93	0.71

Вариант 15

x	-2.45	-1.94	-1.43	-0.92	-0.41	0.10	0.61	1.12	1.63	2.14
y	0.87	1.19	1.68	2.23	3.04	4.15	5.66	7.72	8.82	10.05

Вариант 16

x	1.54	1.91	2.28	2.65	3.02	3.39	3.76	4.13	4.50	4.87
y	-2.52	-3.08	-3.54	-3.93	-4.27	-4.57	-4.84	-5.09	-5.29	-5.44

Вариант 17

x	1.2	2.0	2.8	3.6	4.4	5.2	6.0	6.8	7.6	8.4
y	-10.85	-6.15	-4.14	-3.02	-2.30	-1.81	-1.45	-1.17	-0.96	-0.81

Вариант 18

x	-1.04	-0.67	-0.30	0.07	0.44	0.81	1.18	1.55	1.92	2.29
y	10.80	8.08	5.97	4.44	3.31	2.46	1.83	1.36	0.78	0.25

Вариант 19

x	0.41	0.97	1.53	2.09	2.65	3.21	3.77	4.33	4.89	5.45
y	0.45	1.17	1.56	1.82	2.02	2.18	2.31	2.44	2.55	2.64

Вариант 20

x	0.80	1.51	2.22	2.93	3.64	4.35	5.06	5.77	6.48	7.19
y	9.22	6.35	5.31	4.77	4.45	4.23	4.07	3.44	3.21	3.05

Вариант 21

x	-0.05	-0.04	-0.88	0.32	-0.24	-1.05	0.57	0.01	0.40	0.79
y	11.13	3.49	8.91	14.83	1.80	13.50	3.70	-2.40	10.00	16.04

Вариант 22

x	63.96	44.39	51.20	58.44	50.15	44.51	47.25	35.24	43.28	32.03
y	3.05	2.20	0.65	1.65	1.92	1.92	0.89	0.75	2.79	0.44

Вариант 23

x	58.46	36.05	31.17	16.17	11.16	69.23	58.08	43.13	73.24	42.86
y	0.22	-3.05	-1.76	-1.25	-0.45	-0.80	-0.26	-3.07	-1.27	-3.05

Вариант 24

x	66.58	36.05	64.63	33.19	26.70	55.31	18.70	22.95	38.24	9.18
y	3.44	1.72	2.06	3.07	0.99	7.65	2.92	3.53	4.10	-0.47

Вариант 25

x	79.31	57.34	60.66	92.55	90.12	71.30	70.50	91.52	68.31	58.56
y	5.84	3.82	6.19	9.22	7.87	6.29	4.43	8.91	5.34	2.21

Вариант 26

x	82.16	61.02	44.56	82.52	99.17	70.24	63.23	66.48	48.35	40.24
y	0.12	-3.48	-4.45	-6.19	1.81	-3.81	0.84	-2.08	-1.28	5.44

Вариант 27

x	65.72	58.05	60.05	55.79	50.83	47.69	44.49	59.74	56.81	45.82
y	5.14	5.59	4.33	4.59	4.21	3.78	4.23	5.61	4.87	3.87

Вариант 28

x	55.65	67.68	105.20	85.02	52.76	58.86	72.19	61.09	70.44	51.67
y	9.11	9.35	8.90	9.22	8.74	8.98	8.77	9.31	8.81	9.14