Метод наименьших квадратов

Цель работы: научиться находить аналитическое выражение таблично заданной функции с помощью метода наименьших квадратов.

Задание: найти наилучшее приближение таблично заданной функции.

Пусть на основании эксперимента требуется установить функциональную зависимость величины у от величины х:

у=j(х) (1)

Пусть в результате эксперимента получено п значений функции у при соответствующих значениях аргумента. Результаты записаны в таблицу:

х Метод наименьших квадратов - student2.ru Метод наименьших квадратов - student2.ru ……… Метод наименьших квадратов - student2.ru
Метод наименьших квадратов - student2.ru Метод наименьших квадратов - student2.ru Метод наименьших квадратов - student2.ru ……… Метод наименьших квадратов - student2.ru

Вид функции j(х) устанавливается или из теоретических соображений, или на основании расположения на координатной плоскости точек, соответствующим экспериментальным значениям. Её выбирают обычно из несложных элементарных функций так, чтобы она как можно лучше описывала экспериментальные данные:

Вид аппроксимирующей функции Вид аппроксимирующей функции
Метод наименьших квадратов - student2.ru Метод наименьших квадратов - student2.ru
Метод наименьших квадратов - student2.ru Метод наименьших квадратов - student2.ru
Метод наименьших квадратов - student2.ru Метод наименьших квадратов - student2.ru
Метод наименьших квадратов - student2.ru Метод наименьших квадратов - student2.ru

При выбранном виде функции у=j(х,а,b,c,…) остается подобрать входящие в нее параметры для наилучшего в некотором смысле приближения функцией рассматриваемого процесса. Эта задача называется сглаживанием (аппроксимацией) экспериментальной зависимости и часто решается методом наименьших квадратов. Сглаживающую кривую называют аппроксимирующей.

Рассмотрим сумму квадратов разностей значений уi, даваемых экспериментом, и функции j(х,а,b,c,…) в соответствующих точках:

S(a,b,c,…)= Метод наименьших квадратов - student2.ru (2)

Подбираем параметры a,b,c,…так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение:

S(a,b,c,…)= Метод наименьших квадратов - student2.ru → min (3)

Задача свелась к нахождению значений параметров a,b,c,…, при которых функция S(a,b,c,…) имеет минимум. На основании необходимого признака экстремума функции нескольких переменных

Метод наименьших квадратов - student2.ru (4)

Для каждой конкретной функции равенства (4) в развернутом виде представляют собой систему уравнений для нахождения неизвестных параметров. Например, для случая, когда в качестве аппроксимирующей функции выбрана линейная у=ах+b, система уравнений имеет вид:

Метод наименьших квадратов - student2.ru ,

Метод наименьших квадратов - student2.ru .

Такую систему можно решать любыми способами, том числе и с помощью пакета Mathcad.

1. Линейная функция.

Известны значения функции Метод наименьших квадратов - student2.ru в некоторых точках, представленных в таблице

х 1.71 2.42 3.13 3.84 4.55 5.26 5.97
у 12.49 4.76 2.55 1.60 1.11 0.82 0.63 0.5

Найти приближенное выражение функции в виде линейной функции Метод наименьших квадратов - student2.ru .

Решение.

1). Вводим исходные данные задачи в виде массивов Метод наименьших квадратов - student2.ru и Метод наименьших квадратов - student2.ru .

Метод наименьших квадратов - student2.ru Метод наименьших квадратов - student2.ru

2). Сортируем данные, если они даны не в порядке возрастания. Значения Метод наименьших квадратов - student2.ru запишем соответственно отсортированным значениям Метод наименьших квадратов - student2.ru , используя функцию Метод наименьших квадратов - student2.ru (в массив М внести значения Метод наименьших квадратов - student2.ru и Метод наименьших квадратов - student2.ru ).

3). Вводим переменные, необходимые для дальнейших вычислений:

Метод наименьших квадратов - student2.ru

Метод наименьших квадратов - student2.ru

4).Находим коэффициенты линейной функции, используя встроенные возможности Mathcad:

Метод наименьших квадратов - student2.ru Метод наименьших квадратов - student2.ru

Метод наименьших квадратов - student2.ru Метод наименьших квадратов - student2.ru

Функция Метод наименьших квадратов - student2.ru позволяет найти угловой коэффициент линии регрессии (наклон линии регрессии), а Метод наименьших квадратов - student2.ru – смещение по оси ординат линии регрессии (свободный параметр). Их можно найти также, реализовав метод наименьших квадратов, решая для этого систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

 
  Метод наименьших квадратов - student2.ru

Метод наименьших квадратов - student2.ru

В результате получим: значения Метод наименьших квадратов - student2.ru и Метод наименьших квадратов - student2.ru , найденные по приближающей линейной функции и полученные решением системы двух уравнений с двумя неизвестными

Метод наименьших квадратов - student2.ru

Таким образом, функция имеет вид Метод наименьших квадратов - student2.ru /

5). Проверим, как точно найден характер исходной функции. Для этого найдем отклонение таблично заданных значений Метод наименьших квадратов - student2.ru от точек полученной линейной функции

Метод наименьших квадратов - student2.ru

6). Правильность выбора приближающей функции можно определить и по коэффициенту корреляции, используя функцию Метод наименьших квадратов - student2.ru :

Метод наименьших квадратов - student2.ru

Или записав формулу вычисления коэффициента корреляции:

Метод наименьших квадратов - student2.ru

Полученное значение коэффициента показывает, что зависимость у нас обратная (знак «минус») и связь достаточно тесная (число Метод наименьших квадратов - student2.ru достаточно близко к 1).

2. Квадратичная функция.

Известны значения функции Метод наименьших квадратов - student2.ru в некоторых точках, представленных в таблице

х 1.71 2.42 3.13 3.84 4.55 5.26 5.97
у 12.49 4.76 2.55 1.60 1.11 0.82 0.63 0.5

Найти приближенное выражение функции в виде многочлена второй степени Метод наименьших квадратов - student2.ru .

Решение.

 
  Метод наименьших квадратов - student2.ru

Метод наименьших квадратов - student2.ru

3. Степенная функция

Известны значения функции Метод наименьших квадратов - student2.ru в некоторых точках, представленных в таблице

х 1.71 2.42 3.13 3.84 4.55 5.26 5.97
у 12.49 4.76 2.55 1.60 1.11 0.82 0.63 0.5

Найти приближенное выражение функции в виде степенной функции Метод наименьших квадратов - student2.ru .

Решение.

Метод наименьших квадратов - student2.ru

Метод наименьших квадратов - student2.ru

4. Показательная функция.

Известны значения функции Метод наименьших квадратов - student2.ru в некоторых точках, представленных в таблице

х 1.71 2.42 3.13 3.84 4.55 5.26 5.97
у 12.49 4.76 2.55 1.60 1.11 0.82 0.63 0.5

Найти приближенное выражение функции в виде показательной функции Метод наименьших квадратов - student2.ru .

Метод наименьших квадратов - student2.ru

Метод наименьших квадратов - student2.ru

5. Логарифмическая функция.

Известны значения функции Метод наименьших квадратов - student2.ru в некоторых точках, представленных в таблице

х 1.71 2.42 3.13 3.84 4.55 5.26 5.97
у 12.49 4.76 2.55 1.60 1.11 0.82 0.63 0.5

Найти приближенное выражение функции в виде логарифмической функции Метод наименьших квадратов - student2.ru .

Решение.

Метод наименьших квадратов - student2.ru

Метод наименьших квадратов - student2.ru

6. Гиперболическая функция.

Известны значения функции Метод наименьших квадратов - student2.ru в некоторых точках, представленных в таблице

х 1.71 2.42 3.13 3.84 4.55 5.26 5.97
у 12.49 4.76 2.55 1.60 1.11 0.82 0.63 0.5

Найти приближенное выражение функции в виде гиперболы
Метод наименьших квадратов - student2.ru

Решение.

Метод наименьших квадратов - student2.ru

Метод наименьших квадратов - student2.ru

Задача. Для исходных данных, представленных в таблице, выяснить, какая из функций (линейная, квадратическая, степенная, показательная, логарифмическая, гиперболическая) наиболее точно их описывает

Исходные данные для задачи аппроксимации
х 1,20 1,57 1,94 2,31 2,68 3,05 3,42 3,79
у 2,59 2,06 1,58 1,25 0,91 0,66 0,38 0,21
х 1,73 2,56 3,39 4,22 5,05 5,89 6,70 7,53
у 0,63 1,11 1,42 1,94 2,30 2,89 3,29 3,87
х -4,38 -3,84 -3,23 -2,76 -2,22 -1,67 -1,13 -0,60
у 2,25 2,83 3,44 4,31 5,29 6,55 8,01 10,04
х 1,00 1,64 2,28 2,91 3,56 4,19 4,84 5,48
у 0,28 0,19 0,15 0,11 0,09 0,08 0,07 0,06
х 5,84 3,82 6,19 9,22 7,87 6,29 4,43 8,91
у 79,31 57,43 60,66 92,55 90,12 71,30 70,50 91,25
х 2,91 2,94 6,35 6,58 3,80 6,43 0,57 5,96
у 82,16 61,02 44,56 82,52 99,17 70,24 63,23 66,48
х 5,46 2,73 6,49 4,26 2,39 6,46 0,86 2,05
у 65,72 58,05 60,05 55,79 50,83 47,69 44,49 59,74
х 1,28 1,76 2,24 2,72 3,20 3,68 4,16 4,64
у 2,10 2,62 3,21 3,96 4,98 6,06 7,47 9,25
х -4,84 -4,30 -3,76 -3,22 -2,68 -2,14 -1,60 -1,06
у -0,09 -0,11 -0,13 -0,16 -0,19 -0,26 -0,39 -0,81
х 3,54 4,29 4,78 3,99 1,13 6,29 1,89 3,27
у 22,81 28,42 24,95 26,96 8,78 33,55 15,77 22,80
х 4,08 4,42 2,52 -0,08 2,14 3,36 7,35 5,00
у 18,31 21,85 16,93 -8,23 10,90 17,18 36,45 24,11
х 1,16 1,88 2,60 -3,32 4,04 4,76 5,48 6,20
у 0,18 0,26 0,32 0,36 0,40 0,43 0,95 0,85
х 1,00 1,71 2,42 -3,13 3,84 4,55 5,26 5,97
у 12,49 4,76 2,55 1,60 1,11 0,82 0,63 0,50
х -0,64 -0,36 -0,08 0,20 0,48 0,76 1,04 1,32
у 29,51 18,86 12,05 7,70 4,92 3,14 20,1 1,28
х -2,45 -1,94 -1,43 -0,92 -0,41 0,10 0,61 1,12
у 0,87 1,19 1,68 2,23 3,04 4,15 5,66 7,72
х 1,54 1,91 2,28 -2,65 3,02 3,39 3,76 4,13
у -2,52 -3,08 -3,54 -3,93 -4,27 -4,57 -4,84 -5,09
х 1,20 2,00 2,80 -3,60 4,40 5,20 6,00 6,80
у -10,85 -6,15 -4,14 -3,02 -2,30 -1,81 -1,45 -1,17
х -1,04 -0,67 -0,30 0,07 0,44 0,81 1,18 1,55
у 10,80 8,08 5,97 4,44 3,31 2,46 1,83 1,36
х 0,41 0,97 1,53 -2,09 2,65 3,21 3,77 4,33
у 0,45 1,17 1,56 1,82 2,02 2,18 2,31 2,44
х 3,80 0,25 0,48 5,78 4,91 1,56 0,91 5,73
у -19,23 -21,41 -9,90 -19,56 -0,30 -12,04 1,14 11,26

Отчет о выполненной работе должен содержать:

1. Тему и цель работы

2. Индивидуальное задание согласно варианту

3. Решение предложенных задач

Вопросы к защите лабораторной работы

1. Для чего применяется метод наименьших квадратов?

2. Объясните сущность метода наименьших квадратов.

3. Что служит показателем точности аппроксимации?

Наши рекомендации