Вычисление определенного интеграла
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Обозначим . Производная функции по переменному верхнему пределу х имеет вид:
.
Аналогичная формула справедлива и для случая переменного нижнего предела.
Теорема. Для всякой функции , непрерывной на отрезке , существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
Теорема. (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция – произвольная первообразная от непрерывной функции , то
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Доказательство. Пусть – произвольная первообразная функции на отрезке . Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция также
является первообразной для функции на этом отрезке. Так как любые две первообразные непрерывной функции могут отличаться только на постоянную, то
или .
При соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при :
.
Тогда . А при : .
Заменив переменную на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:
.
Теорема доказана.
Иногда применяют обозначение .
Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
Замена переменных в определённом интеграле
Пусть дан интеграл , где – непрерывная функция на отрезке .
Введем новую переменную в соответствии с формулой . Тогда если
1) ,
2) функции и непрерывны на отрезке
3) функция определена на отрезке , то
.
Тогда
Пример.
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.
Пример.
, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,
,
т. е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке ). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.