Интегрирование тригонометрических функций
Тип.
Возможны два случая:
1. Если хотя бы один из показателей m илиn‒ нечетный, то соответствующая функция подводится под дифференциал и интеграл сводится к вычислению двух интегралов от степенных функций по формуле:
Пример:
Решение:
Если оба показателя m или n‒ нечетные, то множитель для подведения под дифференциал отделяют от меньшей из степеней.
2. Если оба показателя степени m или n‒ четные, интеграл находится понижением порядка (степени) в два раза с помощью следующих формул тригонометрии:
Пример:
Решение:
Тип.
Интегралы вида
берутся по следующим формулам тригонометрии:
Пример:
Решение:
Тип.
Интегралы вида 
,
где 
‒ рациональная функция относительно 
.
Интегралы этого вида берутся универсальной подстановкой 
, далее используются формулы тригонометрии, выражающие через 
:
Пример:
Решение:
Интегрирование некоторых видов иррациональных функций.
Тип.
Интегралы вида
берутся выделением полного квадрата под корнем и сводятся к следующим табличным:
Пример 1:
Решение:
Пример 2:
Решение:
Тип.
Интегралы вида
берутся выделением в числителе производной от подкоренного выражения:
, при этом исходный интеграл разобьется на сумму двух интегралов.
Первый из них
Второй интеграл относится к интегралам первого типа, рассмотренным выше.
Пример:
Решение:
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА ‒ ЛЕЙБНИЦА.
Определенным интегралом от функции f(x)на промежутке[a;b] называется приращение первообразной функции F(x) при изменении аргумента от x = a до x = b.
Обозначается
где a ‒ нижний предел интегрирования, а b‒верхний предел интегрирования.
Из определения следует:
Пример.
Решение:
Свойства определенного интеграла.
3. Если функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке[a, b], то
то есть постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.
5. Если 
, то
Приемы вычисления определенного интеграла такие же, как и неопределенного интеграла.
Метод замены переменной в определенном интеграле.
При выполнении замены переменной в определенном интеграле надо:
1. под знаком интеграла заменить старую переменную на новую;
2. пересчитать пределы интегрирования.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Воспользовавшись формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле
получим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.Которая примет вид:
Пример1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
