Критерий Рауса-Гурвица

Критерий Рауса-Гурвица в рассматриваемом случае можно применить, если выполнить конформноеотображение плоскости комплексного переменного z на плоскость комплексного переменного w таким образом, чтобы единичная окружность |z|=1 перешла в мнимую ось на плоскости переменного w, а внутренность единичного круга |z|<1 отобразилась на левую полуплоскость Re w<0. Такое отображение выполняется с помощью дробно-линейного преобразования.

       
    Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru
  Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru
 

Выполняя замену переменной в

многочлене A(z) получим

a0 ((1+w)/(1-w))k + a1 ((1+w)/(1-w)k-1 +..+ ak = A1(w)/(1-w)k

где A1(w)- многочлен степени k новой переменной w.

Например, при k=2

A1(w)=a0 (1-w) 2+a1(1+w)(1-w)+a2(1-w) 2 =

=a0+2a0w+a0w2+a1 - a1w2+a2-2a2w+a2w2=

=b0w2+b1w+b2 ,

где

b0= a0 -a1 +a2

b1= 2a0 -2a2

b2= a0 -a1 +a2

Исследование расположения корней многочлена A1(W) можно проводить с помощью критерия Гурвица, имеющего совокупность определителей

D1 =b1 , D2 = Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru ,

Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Рассмотренный алгебраический метод позволяет определить является ли система асимптотическиустойчивой, однако не дает возможности исследовать устойчивость в тех случаях, когда корни A(z) лежат на самой единичной окружности |z|=1. Недостатком метода является значительная трудоемкость вычислений. Метод весьма громоздок при синтезе САР. Более удобными являются частотные методы, которые рассмотрим ниже.

Частотные характеристики Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru

При исследовании дискретных систем широко используются частотные методы. Для получения частотной передаточной функции необходимо в выражение для передаточной функции сделать подстановку z=ej Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru T

W(ej Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru T)= Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Частотные характеристики в этом случае (АФХ, АЧХ, ФХ) оказываются периодическими функциями частоты Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru с периодом Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Более удобным для получения частотных характеристик и, в частности, логарифмических является использование псевдочастоты. Обычно для этого применяют w – преобразование, при помощи которого окружность единичного радиуса e j Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru T отображается на мнимую ось комплексной величины w с помощью подстановки

Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru или Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru

Сделав подстановку Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru , получим

Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru

где Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru - относительная псевдочастота.

В дальнейшем изложении будем использовать, так называемую абсолютную псевдочастоту

Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

При малых частотах ( Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru < Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru ) абсолютная псевдочастота практически совпадает с обычной частотой Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru , т. к. в этом случае Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Это является весьма удобным, т. к. в этом случае частотные характеристики в функции псевдочастоты практически сливаются с частотными характеристиками, построенными в функции обычной круговой частоты Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru . Построение же характеристик в функции псевдочастоты оказывается значительно более простым.

Нетрудно заметить, что при изменении частоты в пределах Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru , Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru , а комплексная величина w движется по мнимой оси от Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru до Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Аналогично для разомкнутой системы

Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Для получения частотной характеристики необходимо сделать подстановку

Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Однако, как и ранее следует учитывать особый вид функции Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru ,которая не равна W(s) при s=j Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru и не равна W(z) при z=j Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Частотная характеристика может быть получена подстановкой Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru . Тогда

Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Построение ЛАХ и ЛФХ по этому выражению даже в этом простейшем случае вызывает затруднения. Перейдем к псевдочастоте. Тогда

Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru .

Построение асимптотической ЛАХ и ЛФХ в этом случае не вызывает никаких затруднений.

Критерий Рауса-Гурвица - student2.ru

Наши рекомендации