Модели массового обслуживания

Классификация систем массового обслуживания

Многие экономические процессы можно представить в виде систем массового обслуживания.

Системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо видов услуг, а с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов, называются системами массового обслуживания.

Система массового обслуживания включает следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (обслуживающий аппарат, канал обслуживания), выходящий поток требований.

Системы массового обслуживания классифицируют по разным признакам. К таким признакам относятся, например, условия ожидания требованием начала обслуживания. В соответствии с этим признаком системы подразделяются на следующие виды: 1) системы массового обслуживания с потерями (отказами); 2) системы массового обслуживания с ожиданием; 3) системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди; 4) системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания.

Системы массового обслуживания, у которых требования, поступающие в момент, когда все приборы обслуживания заняты, получают отказ и теряются, называются системами с потерями или отказами.

Системы массового обслуживания, у которых возможно появление какой угодно длинной очереди требований к обслуживающему устройству, называются системами с ожиданием.

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным числом мест в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди.

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожидания.

По числу каналов или приборов системы делятся на одноканальные и многоканальные.

По месту нахождения источника требований системы массового обслуживания делятся на разомкнутые, когда источник находится вне системы, и замкнутые, когда источник находится в самой системе. К последнему виду относится, например, станочный участок, в котором ставки являются источником неисправностей, а следовательно, и требований на их обслуживание.

Показатели эффективности систем массового обслуживания делятся на показатели, характеризующие качество и условия работы обслуживающей системы, и показатели, отражающие экономические особенности системы.

Показатели первой группы обычно формируют на основе полученных из расчетов значений вероятностей состояний системы. Показатели второй группы рассчитывают на основе показателей первой группы.

Среди показателей первой группы можно выделить следующие.

1) Вероятность того, что поступающее в систему требование откажется присоединяться к очереди и теряется (Р_отк). Этот показатель для системы массового обслуживания с отказами равен вероятности того, что в системе находится столько требований, сколько она содержит приборов (каналов) обслуживания:

Р_отк = Р_n,

где n - число каналов обслуживания.

Для системы с ограниченной длиной очереди Р_отк равна вероятности того, что в системе находится n + l требований:

Р_отк = Р_n+l

где l - допустимая длина очереди.

Противоположным показателем является вероятность обслуживания требования

Р_обсл = 1 - Р_отк.

2) Среднее количество требований, ожидающих начала обслуживания,

,

где Р_m - вероятность того, что в системе находится m требований.

При условии простейшего потока требований и экспоненциального закона распределения времени обслуживания формулы для М_ож принимают следующий вид:

система с ограниченной длиной очереди

,

где a=λ/n, λ - интенсивность входящего потока требований (среднее число требований, поступающих в единицу времени), n - интенсивность обслуживания (среднее число обслуженных требований в единицу времени);

система с ожиданием

.

3) Относительная (q) и абсолютная, (А) пропускные способности системы. Эти величины находят соответственно по формулам

q = 1 - P_отк, А = λq, q = n/(λ+n)

4) Среднее число занятых обслуживанием приборов в случае экспоненциального характера потока требований и времени обслуживания

n_з=aq.

для системы массового обслуживания с отказами n_з можно найти по формуле

.

5) Общее количество требований, находящихся в системе (М). Эту величину определяют следующим образом:

система массового обслуживания с отказами

М = n₃,

система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди и ожиданием

М = n₃ + М_ож.

6) Среднее время ожидания требованием начала обслуживания (Т_ож). Если известна функция распределения вероятностей времени ожидания требованием начала обслуживания

F(t) = P(T_ож< t),

то среднее время ожидания находится как математическое ожидание случайной величины Т_ож:

Т_ож = М[Т_ож]= ,

Т_ож при показательном законе распределения требований во входящем потоке можно определить по формуле

Т_ож = М_ож/λ.

Показатели, характеризующие экономические особенности, формируют обычно в соответствии с конкретным видом системы и её назначением. Одним из общих экономических показателей является экономическая эффективность

Е = Р_обслλсТ - G_n,

где с - средний экономический эффект, полученный при обслуживании одного требования; Т - рассматриваемый интервал времени, G_n - величина потерь в системе.

Величину потерь можно определить по следующим формулам:

система с отказами

G_п = (q_кn₃ + q_yP_откλ + q_пкn_св)Т

где q_к - стоимость эксплуатации одного прибора в единицу времени, q_y - стоимость убытков в результате ухода требований из системы в единицу времени, q_пк - стоимость единицы времени простоя прибора системы, n_св = n - n₃

система с ожиданием

G_п = (q_ожМ_ож + q_пкn_св + q_кn₃)Т

где q_ож - стоимость потерь, связанных с простоем требований в очереди в единицу времени.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ