Метод второй: Алгебраический метод

Основные приемы и методы решения логических задач

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Как правило, задачу можно решить несколькими способами (методами). Чтобы выбрать наиболее простой и эффективный способ для каждой конкретной задачи, необходимо знать все эти способы.

Известно множество различных способов решения логических задач. Рассмотрим некоторые из них:

Метод первый: Метод рассуждений

Способ рассуждений - самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи. Часто решение ведется методом от противного.

Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье.

^

Метод второй: Алгебраический метод

Схема решения логических задач: 1. Изучается условие задачи. 2. Вводится система обозначений. 3. Составляется логическая формула. 4. Определяется значения логической формулы.	Так, например, при применении алгебраического метода наиболее трудным является перевод текста задачи на язык формул. Далее, если вы знаете, логические законы и правила упрощения выражений, решение задачи сводится к формальным преобразованиям и приводит сразу к ответу, который остается лишь расшифровать, исходя из принятых вами обозначений. Для того чтобы решать задачи этим методом, надо знать не только основные логические законы, но и уметь их применять, а также правильно составлять тождественно истинные высказывания.
Задача 2. В одной стране жили рыцари, которые всегда говорили правду, только правду и ничего кроме правды, и лжецы, которые всегда лгали. Однажды в страну проник шпион по имени Мердок, который, как и всякий шпион, иногда говорил правду, иногда лгал, в зависимости от того, что ему было выгодно. Шпион поселился с двумя жителями страны - рыцарем и лжецом. Всех троих арестовали в один день и привели на допрос. Никто не знал, кто из них кто. Они сделали следующие заявления: А сказал: Я - Мердок. В сказал: А говорит правду. С сказал: Я не Мердок.^ Кто же из них шпион - А, В или С ?
Решение. Введем следующие переменные: Пусть Аш =А-шпион, тогда ¯Aш =А - не шпион. Пусть Вш =В-шпион, тогда ¯Bш = В- не шпион. Пусть Cш =С-шпион, тогда ¯Cш = C- не шпион. В наших обозначениях высказывания А, В, С записываются так: А= Аш ;В= Аш ;С=¯Cш . По условиям задачи ясно, что из трёх высказываний истинным может быть либо одно (если шпион лжет), либо два ( если шпион говорит правду). Следовательно, возможны следующие варианты распределения истинных (И) и ложных (Л) высказываний: ИИЛ V ИЛИ V ЛИИ V ЛЛИ V ЛИЛ V ИЛЛ=1.(*) Посмотрим, что означает ИИЛ для введенных нами обозначений. Высказывание пленника А истинно, следовательно, Аш =1; высказывание пленника В истинно, следовательно, Аш =1; высказывание пленника С ложно, следовательно, Сш=1. То есть Аш &Аш &Сш =1. Но А и С не могут одновременно быть шпионами, следовательно, это неверно и данная конъюнкция ложна. Аналогично вариант ИЛИ "переводится" в наши обозначения так: Аш &¯Аш &¯Сш =1. Эта конъюнкция тоже ложна, поскольку А не может одновременно быть шпионом и не быть им. Интерпретируем полностью формулу (*), опуская для кратности знак конъюнкции: Аш Аш Сш U Аш ¯Аш ¯Cш U ¯Аш Аш ¯Cш U ¯Аш ¯Аш ¯Cш U ¯Аш Аш Cш U Аш ¯Аш Cш = 0 U 0 U 0 U ¯Аш ¯Cш U 0 U 0= ¯Аш ¯Cш =1. То есть ни А ни С не шпионы, следовательно, шпион v В. далее уже просто сделать вывод, что А - лжец, С - рыцарь.

^