Прямоугольные координаты на плоскости и пространстве

Действия над векторами, заданными своими координатами.

Длина вектора, угол между векторами.

Прямоугольная система координат в пространстве

Координатами вообще называют числа, определяющие положение точки на плоскости, в пространстве. Рассмотрим пространственную прямоугольную систему координат.

М (а; в; с)

а - абсцисса

в - ордината

с - аппликата

N (0; 3; 4) – в плоскости ZOУ

К (5; 0; 3) – в плоскости XOZ

Р (4; 1; 0) – в плоскости ХOУ

Е (0; 0; 3) – на оси ОZ

Автором прямоугольной системы координат является французский математик Рене Декарт (1596-1650). Поэтому она называется декартовой.

Формулы для векторов на плоскости справедливы для векторов в пространстве.

- координаты вектора.

- расстояние между точками (А; В)

- длина (модуль) вектора

Пусть даны векторы ,

Тогда - сумма и

- разность и

- скалярное произведение векторов

Пример 1. Даны точки А(1;-3;4) В(3;-2;-1)

Найти координаты вектора АВ и его длину.

Пример 2. Даны векторы

Найти , , , cosφ

Пример 3. Длина векторов равны ,

Найти у

Пример 4. Найти координаты вектора если длина его

ответ. (6; -3; 3) или (-6; 3; -3)

Домашнее задание

а) Выучить конспект.

б) 1). Даны точки M (-3; -1; 4) N(0; 2; 5)

Найти координаты вектора и его длину.

Ответ.

2). Даны векторы

Найти , , , cosφ,

Ответ.

1) Длины векторов и равны

Ответ. (±3)

Урок № 68. Тема 7.4.: Решение задач. Контрольная работа.

План занятия.

Решение задачи.

АВСD - прямоугольник

ответ. 7

АВСDА₁В₁С₁D₁ – куб

ответ.

II вариант решения задачи №2 (лучше)

;

φ=60⁰

ответ.

АВСDA₁B₁C₁D₁ - куб

ответ.

Контрольная работа по теме «Векторы»

Работа выполняется по индивидуальным карточкам.

Урок № 69, 70. Тема 8.1.: Неопределенный интеграл и его свойства. Непосредственное интегрирование.

План занятия.

Неопределенный интеграл

Свойства неопределенного интеграла.

Непосредственное интегрирование.

Пусть функция у=F(x) (1) имеет производную f(x), тогда ее дифференциал de=f(x)dx (2). Функция (1) по отношению к ее дифференциалу (2) называется первообразной.

Определение. Первообразной функцией для выражения f(x)dx называется функция F(x), дифференциал которой равен f(x)dx.

Найдем первообразную функцию для выражения 2xdx.

Это будет

х²

х²+1

х²-2

……

х²+с – совокупность первообразных функций это записывается и называется неопределенным интегралом.

Определение. Совокупность всех первообразных функций f(x)+c для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается , т.о.

ò - знак интеграла.

f(x)dx – подынтегральное выражение.

С – произвольная постоянная интегрирования.

Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием.