Дифференциальные уравнения теплопроводности

Задачи по определению температурного поля решаются на основании дифференциального уравнения теплопроводности, выводы которого даны в специальной литературе. Ниже приводятся варианты дифференциальных уравнений без выводов.

При решении задач теплопроводности в движущихся жид­костях, характеризующих нестационарное трехмерное темпе­ратурное поле с внутренними источниками теплоты, исполь­зуется уравнение

Выражение (2.10) является дифференциальным уравнением энергии в декартовой системе координат (уравнение Фурье - Кирхгофа). В этом виде оно применяется при изучении процесса теплопроводности в любых телах.

При , т.е. когда рассматривается твердое

тело без внутренних источников теплоты ( = 0), уравнение энергии (2.10) переходит в уравнение теплопроводности для твердых тел (уравнение Фурье):

Величину =а (м²/с) в уравнении (2.10) называют коэффициентом температуропроводности, который является физическим параметром вещества, характеризующим скорость изменения температуры в теле при неустановившихся про­цессах.

Если коэффициент теплопроводности характеризует спо­собность тел проводить теплоту, то коэффициент температуро­проводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (2.10) следует, что изменение температуры во времени для любой точки пространства пропорцио­нально величине а, т.е. скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем выше, чем больше коэффициент температуропроводности. Поэтому при прочих равных усло­виях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Коэффи­циент температуропроводности зависит от природы вещества. Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы имеют малую тепловую инерционность, так как характеризуются большим коэффи­циентом температуропроводности.

Для обозначения суммы вторых производных по коорди­натам в уравнениях (2.10) и (2.11) можно использовать символ - называемый оператор Лапласа. Тогда в декартовой систе­ме координат

Выражение t в цилиндрической системе координат имеет вид

Для твердого тела в стационарных условиях с внутреннимисточником теплоты уравнение (2.10) преобразуется в уравнение Пуассона:

Наконец, для стационарной теплопроводности и при отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (2.10) принимает вид уравнения Лапласа:

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилинд­рических координатах с внутренним источником теплоты

2.1.6. УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ ДЛЯ
ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно характеризует явление теплопроводности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что приведенные дифференциальные уравнения характеризуют целый класс явлений теплопровод­ности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо при­соединить математическое описание всех частных особен­ностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса тепло­проводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями и включают в себя:

а) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в которых протекает процесс;

б) физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела ( , , ,а и др.);

в) временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;

г) граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Начальные условия необходимы при рассмотрении не­стационарных процессов и состоят в задании закона распре­деления температуры внутри тела в начальный момент време­ни. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом: при = О

В случае равномерного распределения температуры в теле начальное условие упрощается: при = 0 t = t = idem.

Граничные условия могут быть заданы несколькими спо­собами.

1. Граничные условия первого рода, задающие распределе­ние температуры на поверхности тела t для каждого момента времени:

В частном случае, когда температура на поверхности по­стоянна на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение (2.16) упрощается и принимает вид t = idem.

2. Граничные условия второго рода, задающие величину плотности теплового потока для каждой точки поверхности и любого момента времени. Аналитически это можно предста­вить следующим образом:

где q - плотность теплового потока на поверхности тела.

В простейшем случае плотность теплового потока по по­верхности и во времени остается постоянной: q = idem. Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.

3. Граничные условия третьего рода, задающие температуру окружающей среды и закон теплообмена между поверх­ностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона.

Согласно закону Ньютона количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорцио­нально разности температур тела t и окружающей среды :

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или вос­принимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (2.18), должно равняться теплоте, под­водимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела (2.7):

где п - нормаль к поверхности тела; индекс "с" указывает, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при п = 0).

Окончательное граничное условие третьего рода можно записать в следующем виде:

Уравнение (2.20) по существу является частным выраже­нием закона сохранения энергии для поверхности тела.

4. Граничные условия четвертого рода, характеризующие условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (темпера­туры соприкасающихся поверхностей одинаковы). В рас­сматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения: