Тема 9.7. Непрерывные случайные величины. Плотность и функция распределения случаной величины

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.

В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полу­бесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).

Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр.

При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум».

Если x – непрерывная случайная величина, то равенство x = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события. Так, например, можно говорить, что только с вероятностью «нуль» снаряд пролетит 5245,7183 метра, или что отклонение действительного размера детали от номинального составит 0,001059 миллиметра. В этих случаях практически невозможно установить, произошло событие или нет, так как измерения величин проводятся с ограниченной точностью, и в качестве результата измерения можно фактически указать лишь границы более или менее узкого интервала, внутри которого находится измеренное значение.

Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка.

Пусть x – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства х < x < х + Dх

P(х < x < х + Dх).

Здесь Dх – величина малого интервала.

Очевидно, что если Dх ® 0, то P(х < x < х + Dх)® 0. Обозначим р(х) предел отношения P(х < x < х + Dх) к Dх при Dх ® 0, если такой предел существует:

(9.7.1)

Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из формулы (9.7.1) следует равенство, справедливое для малых величин Dх, которое также можно считать определением функции р(х):

P(х < x < х + Dх) p(x)Dх (9.7.2)

Очевидно, что p(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина x примет значение из промежутка [a, b] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x₁, х₂,¼, х_n удовлетворяющие условию а=х₀<х₁<x₂<¼<x_n<b=x_n+1. Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х₀, х₁), [х₁, х₂), ¼,[х_n, b]. Введём обозначения:

Dх₀= х₁ – х₀, Dх₁= х₂ – х₁, ¼, Dх_n = b – х_n,

и составим сумму . Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина Dх_i стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:

P(a £ x £ b) = (9.7.3)

Рис. 9.7.1

Это равенство можно также рассматривать как определение функции р(х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х₁, х₂) равна площади фигуры, образованной отрезком [х₁, х₂] оси х,графиком функции р(х) и вертикальными прямыми х = х₁, х = х₂, как изображено на рисунке 1.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) – её плотности распре­деления справедливо равенство

(9.7.4)

Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.

Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям:

1) р(х) ³ 0;

2)

Последнее свойство называется свойством нормировки. Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям.

В качестве примера рассмотрим случайную величину x, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка:

По свойству 2) функции р(х)

Отсюда . График функции р(х) представлен на рисунке 9.7.2.

Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 9.7.1. Вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.

Пусть x – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством

, (9.7.5)

называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины x. Непосредственно из определения следует равенство . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения.

Функция распределения F(x) случайной величины x имеет следующие свойства.

1. F(x) — непрерывная возрастающая функция.

2. ;

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).

3. Приращение F(x) на промежутке (х₁; х₂) равно вероятности того, что случайная величина x принимает значение из этого промежутка:

F(x₂) – F(x₁) = P(x₁ < x £ x₂)

Доказательство.

F(x₂) = P(x £ x₂) = P(x £ x₁) + P(x₁ < x £ x₂) = F(x₁) + P(x₁ < x £ x₂)

Отсюда

P(x₁ < x £ x₂) = F(x₂) – F(x₁)

Заметим, что для непрерывной случайной величины x справедливы равенства

P(x₁ < x £ x₂) = P(x₁ < x < x₂) = P(x₁ £ x < x₂) = P(x₁ £ x £ x₂)

Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:

Рис. 9.7.3

График функции F(x) представлен на рисунке 9.7.3.

Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x).

Функцию распределения F(x) можно построить и для дискретной случайной величины x, если задан закон распределения этой случайной величины.

Пусть задана дискретная случайная величина x с законом распределения

x
Р	0,2	0,5	0,3

Построим функцию F(x), используя определение F(x) = P(x £ x).

График функции F(x) изображён на рисунке 9.7.4.

Очевидно, что закон распределения дискретной случайной величины можно задать с помощью таблицы, где каждому значению этой случайной величины ставится в соответствие вероятность, или с помощью функции распределения.