Основные свойства бесконечно малых функций

1° Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2° Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3° Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4° Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5° Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6° Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:

Если функция

- функция бесконечно малая (

), то функция

есть бесконечно большая функция и наоборот.

6. Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если

Бесконечно малые функции одного порядка

Пусть и - две б.м. функции при .

Определение

Функции и называются б.м. одного порядка малости при , если

Б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при , если

Обозначают: при .

Таблица эквивалентных б.м. функций

Таблица эквивалентных б.м. функций при

Предельные равенства для эквивалентных б.м. функций

Теорема

Предел отношения двух б.м. функций и при равен пределу отношения эквивалентных им б.м. функций и при , то есть верны предельные равенства:

7. Основные методы отыскания пределов. Замечательные пределы.

Определение

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Следствия из первого замечательного предела

1°

2°

3°

4°

здесь е - число Эйлера

Следствия из второго замечательного предела

1°

2°

3°

4°

5°

6°

8. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Классификация точек разрыва.

Основные понятия и определения

Определение

Функция называется непрерывной в точке , если:

1 функция определена в точке и ее окрестности;

2 существует конечный предел функции в точке ;

3 это предел равен значению функции в точке , т.е.

Приращение аргумента и функции

Рассмотрим функцию , которая определена в некотором интервале и рассмотрим произвольную точку из этого интервала: .

Определение

Приращением аргумента в точке называется разность

Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что .

Приращением функции в точке называется разность соответствующих значений функции или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь:

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

Полезные теоремы о непрерывности функции

Теорема

Если функции и непрерывны в точке , то функции , , также непрерывны в точке .

Пусть функция задана на множестве , а - множество значений этой функции. Пусть на множестве задана функция . Тогда говорят, что на множестве задана композиция функций (или сложная функция) .

Теорема

Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция функций непрерывна в точке .

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция называется непрерывной справа в точке , если .

Функция называется непрерывной слева в точке , если .

Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .

Свойства функций непрерывных на отрезке:

1 Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

2 Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.

3 Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между и .

4 Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что .