Свойства бесконечно малых функций

Предел функции.

1. Предел функции в точке.

Односторонние пределы.

Пример.

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru

Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , за исключением, быть может, самой точки Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Опр. 1. Точка А называется пределом функции y=f(x) при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , если для любой последовательности точек Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , сходящейся к Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , последовательность значений функции Свойства бесконечно малых функций - student2.ru сходится к А. В этом случае пишут: Свойства бесконечно малых функций - student2.ru =А, или Свойства бесконечно малых функций - student2.ru при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Это определение называют определением предела по Гейне (нем. математик XIX в.)

Замечание. Если точка Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , то предел Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , если он существует, равен значению функции в данной точке Свойства бесконечно малых функций - student2.ru . (См. рис.1)

Опр. 2. Если при стремлении к Свойства бесконечно малых функций - student2.ru x принимает лишь значения, меньшие (большие) Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , и при этом Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , то говорят об одностороннем пределе слева Свойства бесконечно малых функций - student2.ru (справа Свойства бесконечно малых функций - student2.ru ).

Пример. Свойства бесконечно малых функций - student2.ru

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru

Утверждение. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела функции в данной точке.

Существует и другое (равносильное) определение предела функции, в котором используется понятие окрестности. Оно называется определением по Коши.

Опр. 3. Число А называется пределом функции y=f(x) при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , найдется такое положительное число Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , зависящее от Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , что для всех x, удовлетворяющих условию Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , верно неравенство Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

В символической форме это определение записывается так:

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Вопрос. Где здесь окрестности? Раскрыть скобки в неравенствах.

Опр.3 можно также сформулировать в следующем общем виде:

Число А называют пределом функции y=f(x) при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru и пишут Свойства бесконечно малых функций - student2.ru =А, если Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Геометрический смысл данного определения 3 заключается в следующем: какую бы (даже сколь угодно малую) окрестность точки А на оси Оу мы ни взяли, всегда найдется окрестность точки Свойства бесконечно малых функций - student2.ru на оси Ох, являющаяся ее прообразом.

2. Бесконечные пределы.

Общее определение предела позволяет дать определение и для случаев, когда Свойства бесконечно малых функций - student2.ru или А являются несобственными точками, т.е. Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Опр. 4. Число А называют пределом функции y=f(x) при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru и пишут Свойства бесконечно малых функций - student2.ru =А, если:

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru

Опр. 5. Число А называют пределом функции y=f(x) при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru и пишут Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Свойства бесконечно малых функций - student2.ru =А, если:

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Свойства бесконечно малых функций - student2.ru

Самостоятельно: сформулировать определение предела при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Опр.6. Говорят, что функция y=f(x) имеет предел при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , равный Свойства бесконечно малых функций - student2.ru и пишут Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , если:

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Свойства бесконечно малых функций - student2.ru

Самостоятельно: сформулировать определение предела, равного Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их связь.

Опр. Функция Свойства бесконечно малых функций - student2.ru называется бесконечно малой при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru функцией, если ее предел при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru равен нулю:

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru =0 Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Опр. Функция Свойства бесконечно малых функций - student2.ru называется бесконечно большой при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru функцией, если ее предел при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru есть несобственное число:

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru = Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Пример. Функция Свойства бесконечно малых функций - student2.ru является: БМ при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru ; ББ при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru ; не является ни БМ, ни ББ при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Теорема 1. (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция

y=f(x) имеет предел Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , то разность между функцией и значением ее предела есть бесконечно малая при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Док-во. Имеем:

Свойства бесконечно малых функций - student2.ruСвойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Надо доказать, что Свойства бесконечно малых функций - student2.ru -А)=0, т.е.

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru . Очевидно, что это условие выполнено. ▲

Следствие. Если функция y=f(x) имеет предел Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru функции Свойства бесконечно малых функций - student2.ru : Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Теорема 2 ( о связи БМ и ББ функций). Если Свойства бесконечно малых функций - student2.ru есть БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф, и Свойства бесконечно малых функций - student2.ru в некоторой окрестности точки Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , то функция Свойства бесконечно малых функций - student2.ru есть ББ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф. Если Свойства бесконечно малых функций - student2.ru есть ББ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф, то функция Свойства бесконечно малых функций - student2.ru есть БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф.

Доказать самостоятельно, используя определение предела.

4. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Свойства бесконечно малых функций.

1. Алгебраическая сумма конечного числа БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф есть БМФ при Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

2. Произведение БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф на ограниченную в некоторой окрестности точки Свойства бесконечно малых функций - student2.ru функцию (в т.ч. на постоянную, на другую БМ) есть БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф.

3. Частное от деления БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф на функцию, предел которой отличен от нуля, есть БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф.

Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф из-за его неопределенности: он может быть равен как конечному числу, так и Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Докажем, например, свойство 1.

Пусть Свойства бесконечно малых функций - student2.ru и Свойства бесконечно малых функций - student2.ru есть БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф. Докажем, что функция Свойства бесконечно малых функций - student2.ru также есть БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф.

По условию для любого Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , а значит, и для Свойства бесконечно малых функций - student2.ru найдутся такие числа Свойства бесконечно малых функций - student2.ru и Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , что Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Свойства бесконечно малых функций - student2.ru :

если Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , то

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru (1)

если Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , то

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru (2)

Если в качестве Свойства бесконечно малых функций - student2.ru взять минимальное из Свойства бесконечно малых функций - student2.ru и Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , т.е. Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , то для всех х, удовлетворяющих условию Свойства бесконечно малых функций - student2.ru будут верны оба неравенства (1) и (2). Складывая их почленно, получим:

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Используя первое неравенство треугольника, перейдем к более сильному неравенству:

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Итак, Свойства бесконечно малых функций - student2.ru мы нашли Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , такое, что при всех Свойства бесконечно малых функций - student2.ru выполняется неравенство Свойства бесконечно малых функций - student2.ru . Это и означает, что функция Свойства бесконечно малых функций - student2.ru есть БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф. ▲

Свойства бесконечно больших функций.

1. Произведение ББ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф на функцию, предел которой отличен от 0, есть ББ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф.

2. Сумма ББ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф и ограниченной функции есть ББ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф.

3. Сумма ББ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф одного знака есть ББ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф того же знака.

4. Частное от деления ББ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф на функцию, имеющую конечный предел, есть ББ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф.

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть Свойства бесконечно малых функций - student2.ru и Свойства бесконечно малых функций - student2.ru - БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru Ф. Предположим, что существует предел их отношения, равный некоторому значению А (собств. или несобств.), т.е.

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru . Тогда если:

1) А – число, не равное 0 или 1, то функции Свойства бесконечно малых функций - student2.ru и Свойства бесконечно малых функций - student2.ru называются БМ одинакового порядка.

2) А=0, то функция Свойства бесконечно малых функций - student2.ru называется БМ более высокого порядка малости, чем Свойства бесконечно малых функций - student2.ru и обозначают: Свойства бесконечно малых функций - student2.ru (о малое).

Пример:

Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , Свойства бесконечно малых функций - student2.ru - БМ при х→0,

3) А= Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , то функция Свойства бесконечно малых функций - student2.ru называется БМ более высокого порядка малости, чем Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

4) А =1, то функции Свойства бесконечно малых функций - student2.ru и Свойства бесконечно малых функций - student2.ru называются эквивалентными БМ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru , обозначается: Свойства бесконечно малых функций - student2.ru ~ Свойства бесконечно малых функций - student2.ru .

Наши рекомендации