Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр

18. Непрерывность функции в точке и на множестве. В тетр

 

Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связывают с такой функцией, график которой — непрерывная линия.

Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru

Определение 1. Функция Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru называется непрерывной в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , если выполняются следующие три условия:

1) функция Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru определена в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , т. е. Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru ;

2) существует Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru ;

3) Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru . Если в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru нарушено хотя бы одно из условий 1—3, то функция называется разрывной в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , а точка Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru — точкой разрыва.

Если воспользоваться определением предела функции в точке по Коши, то можно дать эквивалентное определение непрерывной функции в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru на языке « Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ruСравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru ».

Определение 2. Функция Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru называется непрерывной в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , если для любого заданного числа Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru > 0 можно найти такое число Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru > О (зависящее от Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru ), что для всех Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , для которых Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , будет выполняться неравенство Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru .

В более краткой записи определение можно записать так:

Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru непрерывна в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru

Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru .

Так как Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru — приращение аргумента, a Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru — приращение функции в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , то определение 2 можно сформулировать следующим образом: функция Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru непрерывна в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , если Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , т.е. Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru . Таким образом, получаем еще одно определение непрерывности. Определение 3. Функция Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru называется непрерывной в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , если бесконечно малому приращению аргумента Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru соответствует бесконечно малое приращение функции Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , т. е. Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru .

В некоторых случаях приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности.

Определение. Функция Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , называется непрерывной слева (справа) в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , если существует предел слева (справа) функции Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru и он равен Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru . Другими словами, Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru непрерывна справа в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru непрерывна слева в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru . Из определения односторонней непрерывности в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru следует, что функция Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , определенная в некоторой Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru -окрестности точки Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , непрерывна в точке Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа. Определение. Функция Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом мно­жестве. Если X = Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , то для непрерывности функции на Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru требуется, чтобы Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru была непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т. е. в точке а, и непрерывна слева на правом его конце, т. е. в точке b.

19. Точки разрыва и их классификация.Точки разрыва и их классификация.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше) Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , то функция называется непрерывной справа.

Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru

х0

Если односторонний предел (см. выше) Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , то функция называется непрерывной слева.

определение. Точка х0 называется точкой разрывафункции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимойточкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru

не является непрерывной в любой точке х0. Пример. Функция f(x) = Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru .

Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru

Пример. f(x) = Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru График этой функции:

Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru

Пример. f(x) = Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru = Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр - student2.ru

Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

Наши рекомендации