Сравнение бесконечно малых функций. И 17. Эквивалентность бесконечно малых функций. В тетр
18. Непрерывность функции в точке и на множестве. В тетр
Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связывают с такой функцией, график которой — непрерывная линия.
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:
1) функция определена в точке , т. е. ;
2) существует ;
3) . Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1—3, то функция называется разрывной в точке , а точка — точкой разрыва.
Если воспользоваться определением предела функции в точке по Коши, то можно дать эквивалентное определение непрерывной функции в точке на языке « — ».
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любого заданного числа > 0 можно найти такое число > О (зависящее от и ), что для всех , для которых , будет выполняться неравенство .
В более краткой записи определение можно записать так:
непрерывна в точке
.
Так как — приращение аргумента, a — приращение функции в точке , то определение 2 можно сформулировать следующим образом: функция непрерывна в точке , если , т.е. при . Таким образом, получаем еще одно определение непрерывности. Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т. е. .
В некоторых случаях приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности.
Определение. Функция , определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки , называется непрерывной слева (справа) в точке , если существует предел слева (справа) функции и он равен . Другими словами, непрерывна справа в точке , непрерывна слева в точке . Из определения односторонней непрерывности в точке следует, что функция , определенная в некоторой -окрестности точки , непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа. Определение. Функция , непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом множестве. Если X = , то для непрерывности функции на требуется, чтобы была непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т. е. в точке а, и непрерывна слева на правом его конце, т. е. в точке b.
19. Точки разрыва и их классификация.Точки разрыва и их классификация.
Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.
х0
Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.
определение. Точка х0 называется точкой разрывафункции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимойточкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)
не является непрерывной в любой точке х0. Пример. Функция f(x) = имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.
.
Пример. f(x) =
Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:
График этой функции:
Пример. f(x) = =
Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.
Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.