Понятие о дифференциальных формулах второго рода

В геодезии имеет место применение дифференциальных формул и второго рода, что в большей степени связано с решением задач по перевычислению геодезических координат на поверхности земного эллипсоида. Такая задача возникает, например, при изменении исходной системы координат и уточнения размеров эллипсоида.

Изменение параметров элементов эллипсоида ведет к изменению разности координат и азимутов между пунктами Q₁ и Q₂. Поэтому вместо определения поправок dB₂, dL₂, dA₂ можно найти поправки в имеющиеся разности координат и азимутов соответственно b,ℓ , t. Тогда имеет место :

B′₂ = B₁ + b + db

L′₂ = L₁ +ℓ+dl

A′₂ = A₁ +_- 180⁰ + t +dt.

Таким образом, достаточно найти дифференциальные поправки db, dl, dt в функции изменения параметров элементов эллипсоида

da = a₁ – a; dα = α₁ – α; de² = e²₁ - e² ,

где обозначения с индексом – параметры элементов уже нового эллипсоида.

Для нахождения этих поправок существует система формул, выражающих дифференциалы db, dl и dt система дифференциальных формул второго рода:

db= - b[da /a – (1 – 3/2 sin²B_m)de²] = b[da /a - (2 – 3 sin²B_m)dα]

dl = - ℓ [da / a + 0,5 sin²B_mde² ] = - ℓ [da / a + sin²B_m dα]

dt = - t [da / a + 0,5 sin²B_mde² ] = - t [da / a + sin²B_m dα]

Дифференциальные формулы второго рода применяют, например, в градусных измерениях, при установлении исходных геодезических дат, при уравнивании астрономо-геодезической сети страны в целом.

Таким образом, дифференциальные формулы первого родаприменяют в случае, когда изменяются исходные данные одной из точек на поверхности данного эллипсоида – вводятся поправки в координаты пунктов и азимуты других точек.Дифференциальные формулы второго рода применяют для вычисления поправок в координаты и азимут направления в случае изменения параметров элементов эллипсоида (при переходе от одного эллипсоида к другому). Такая задача была решена нашими геодезистами в связи с переходом от эллипсоида Бесселя к эллипсоиду Красовскому в 1942 – 1946 гг. Одновременно в связи с изменением исходных геодезических данных возникает необходимость применения дифференциальных формул первого рода. В этом случае применяются более сложные формулы, учитывающие совместное влияние дифференциальных поправок первого и второго рода.

Лекция 8. Плоские прямоугольные координаты

Система плоских прямоугольных координат в проекции Гаусса –Крюгера была разработана Гауссом в 1830 г., но только в 1912 г. технологию проекции довел до производственного уровня Крюгер. С тех пор данную проекцию называют проекцией Гаусса – Крюгера. В нашей стране эта проекция применяется с 1928 г.

Необходимость введения системы координат Гаусса - Крюгера обусловлена тем, что эллипсоидальная система геодезических координат не устраивала обеспечению массовых геодезических работ.

Сложность проектирования поверхности Земли на плоскость заключается в невозможности осуществить проектирование без искажений, особенно значительных площадей.

В самом общем виде закон отображения поверхности эллипсоида на плоскости определяется двумя уравнениями вида:

x = f₁(B,L) и y = f₂(B,L).

Видом функций f₁ и f₂ определяется также и характер искажений геометрических фигур в различных проекциях. Есть проекции, в которых сохраняется равенство углов, но искажаются длины линий и площади (равноугольные проекции), есть проекции, в которых сохраняется пропорциональность площадей фигур, но искажаются длины линий и углы (равновеликие проекции); есть проекции, в которых искажаются и длины линий, и углы, и площади (произвольные проекции).

В геодезии во многих случаях измерения производят между точками, удаленными друг от друга на весьма малые по сравнению с радиусом земного шара расстояния. В таком случае оказалось выгодным использоватьравноугольные проекции,называемые еще«конформными», так как в них сохраняется форма и подобие изображаемых фигур в их бесконечно малых частях.Кроме того, равенство углов упрощает учет искажений длин линий фигур.

Если имеем бесконечно малые отрезки dS на эллипсоиде и dD на

плоскости, то за масштаб в данной точке принимается предел их отношения: m = dD / dS.

Очевидно, что на небольших участках в равноугольной проекции масштаб можно считать постоянным по всему участку.

Известны различные равноугольные проекции, но ни одна из них не позволяет отобразить всю поверхность эллипсоида системой координат с единым началом, так как возникающие искажения возрастают и становятся трудно учитываемыми.

При использовании проекции Гаусса-Крюгера земной эллипсоид разделяется меридианами на зоны с постоянной разностью долгот. И заслуга Крюгера заключается в том, что он определил “размер” зоны, при котором развертывание поверхности Земли на плоскость происходит практически без искажений. При необходимости определения искажений, их значения определяются простыми выражениями.

Профессор Ф.Н. Красовскийразработал конкретный подход к выбору так называемых геодезических проекций:

- система опорных пунктов переносится с поверхности эллипсоида на плоскость строго по определенному закону;

- материалы топографических съемок должны укладываться в опорную сеть вовсе без редукций либо с помощью простейших формул;

- проекция должна быть конформной, поскольку при построении геодезических сетей основная роль принадлежит угловым измерениям (бесконечно малый контур на поверхности эллипсоида изображается ему подобным контуром на плоскости).

Свойство конформных проекций:

1. Угловые величины изображаются без искажений.

2. Искажения линейных величин не зависят от азимута направления

( масштаб изображения является функцией только координат данной точки и не зависит от направления).

Из общего числа конформных проекций мы рассмотрим только симметричные проекции - центральная (осевая) линия делит изображаемый участок (зону) на две симметричные части. И главное внимание обратим на проекцию Гаусса, как наиболее применимую в России и в ряде других стран мира.

Каждая зона представляет собой сфероидический двуугольник. При стандартном расположении зон разность долгот, ограничивающих зону меридианов, постоянна и составляет в России 6 или 3⁰. Средний меридиан зоны (ось симметрии) называетсяосевым меридианом.

X

На практике, чтобы не иметь отрицательных

значений ординат У, начало их счета

- ℓ +ℓ начинается с У₀ = 500 км.

Q₁ Q₀ Q₂

Поэтому в геодезии различают

x₁ x₂ У_ист. (без 500 км) и

0 У_усл.(начало смещено на 500 км).

-У - y₁ L₀ +y₂ +У Здесь ℓ _i = L_i - L₀ - удаление точки от

осевого меридиана по оси У

L₁ L₂

Следует отметить, что каждая зона имеет

совершенно одинаковую систему координат:

значения координат отсчитывают от точки О - пересечения осевого меридиана с плоскостью экватора. Например, при шестиградусной зоне максимальное значение (ℓ _i )_max = ± 3⁰.

Для практического применения плоских координат проекции Гаусса-Крюгера территорию страны разбивают меридианами на координатные зоны. В России до сих пор находят применение системы координат шестиградусныхи трехградусныхзон. За основу шестиградусных зон принята топографическая карта масштаба m = 1 000 000 с разностью долгот рамок трапеции 6⁰).

Кроме стандартных зон в народном хозяйстве часто применяются и другие размеры зон, особенно при геодезическом обеспечении специальных прикладных работ. Так земельные угодья различных районов применяют местные системы с со своими зонами.

Область распространения системы плоских конформных координат называют координатной зоной. В практике топографо-геодезических работ координатную зону обычно ограничивают или изоколами(прямыми линиями, параллельными осевому меридиану зоны с расчетными значениями масштаба, или изображениями на плоскости меридианов и парралелей.В последнем случае ряд совершенно одинаковых сфероидических треугольников, ограниченных экватором и меридианами с разностью долгот 3 и 6⁰ называют меридианными полосами.Часто эти полосы называют тоже зонами. Но не следует отождествлять их с

координатными зонами.

Заметим, что в 1919 г. немецкий ученый Баумгарт предложил для удобства практического применения проекции Гаусса – Крюгера ввести трехградусные координатные зоны, а также ко всем ординатам прибавлять 500 000 м и перед ординатой ставить порядковый номер зоны, счет которых начинается от Гринвича.