Дифференциальных уравнений

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Дать постановку задачи численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями; провести классификацию численных методов по виду разностной схемы; ввести понятия локальной и интегральной точности, устойчивости по отношению к шагу интегрирования; построить простейший явный одношаговый метод, оценить его локальную погрешность, устойчивость к шагу интегрирования; пояснить свойство жесткости дифференциальных уравнений и непригодность для их решения классических явных методов.

Общая характеристика численных методов.

Пусть требуется решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ)

дифференциальных уравнений - student2.ru

с начальными условиями

дифференциальных уравнений - student2.ru

Это значит, что необходимо найти функции дифференциальных уравнений - student2.ru на отрезке дифференциальных уравнений - student2.ru такие, что дифференциальных уравнений - student2.ru

Запишем сформулированную задачу, ее называют задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в векторном виде:

дифференциальных уравнений - student2.ru

Решение задачи Коши заключается в нахождении такой траектории дифференциальных уравнений - student2.ru , которая бы удовлетворяла условию дифференциальных уравнений - student2.ru .

Применение численных методов для решения задачи Коши предполагает приближенное вычисление значений дифференциальных уравнений - student2.ru в точках дифференциальных уравнений - student2.ru отрезка дифференциальных уравнений - student2.ru . С этой целью СОДУ заменяют разностной схемой, из которой рекуррентно вычисляют приближенные значения дифференциальных уравнений - student2.ru .

Запишем общий вид разностной схемы:

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Она связывает искомое решение дифференциальных уравнений - student2.ru в текущий момент времени дифференциальных уравнений - student2.ru с построенными к этому моменту времени решениями дифференциальных уравнений - student2.ru в предыдущие моменты времени. Здесь дифференциальных уравнений - student2.ru – приближенное значение дифференциальных уравнений - student2.ru , т. е. дифференциальных уравнений - student2.ru Выбор функции дифференциальных уравнений - student2.ru в разностной схеме определяет соответствующий численный метод.

Приведем общую характеристику методов.

· Если дифференциальных уравнений - student2.ru , т. е.

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

то метод является одношаговым. Он связывает решение в последующий момент времени с решением в предыдущий момент времени. Если дифференциальных уравнений - student2.ru , то метод является многошаговым.

· Метод является явным, если функция дифференциальных уравнений - student2.ru не зависит от дифференциальных уравнений - student2.ru и неявным в противном случае. В случае явного одношагового метода искомое решение дифференциальных уравнений - student2.ru на текущем шаге интегрирования вычисляется тривиально:

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Неявный одношаговый метод требует для расчета дифференциальных уравнений - student2.ru решать систему в общем случае нелинейных алгебраических уравнений

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

привлекая, например, итерационную процедуру Ньютона.

· Различают локальную дифференциальных уравнений - student2.ru и интегральную дифференциальных уравнений - student2.ru погрешности метода. Локальная погрешность – ошибка на шаге интегрирования, интегральная погрешность – полная погрешность в текущий момент времени.

Обратимся к графической иллюстрации погрешности. Пусть численно решается уравнение

дифференциальных уравнений - student2.ru .

В результате выполнения первого шага интегрирования (см. рис. 10.1) приближенное значение искомой функции в момент времени дифференциальных уравнений - student2.ru равно

дифференциальных уравнений - student2.ru

Рис. 10.1. Иллюстрация локальной и интегральной погрешностей

дифференциальных уравнений - student2.ru . Это значение принадлежит некоторой интегральной кривой 2, являющейся решением дифференциального уравнения при другом, отличном от дифференциальных уравнений - student2.ru , начальном условии. Разница между приближенным значением дифференциальных уравнений - student2.ru и точным дифференциальных уравнений - student2.ru составляет локальную погрешность. Очевидно, что на первом шаге локальная погрешность совпадает с интегральной погрешностью. Второй шаг интегрирования приводит к приближенному значению дифференциальных уравнений - student2.ru , которое принадлежит интегральной кривой 3. Видно, что локальная погрешность на этом шаге, равная разности дифференциальных уравнений - student2.ru и значения ординаты кривой 2 в момент времени дифференциальных уравнений - student2.ru , существенно отличается от интегральной погрешности – разности между приближенным дифференциальных уравнений - student2.ru и точным дифференциальных уравнений - student2.ru значениями.

Наиболее объективной характеристикой точности метода является величина интегральной погрешности. К сожалению, выполнить ее оценку крайне сложно. На практике при выборе шага интегрирования обычно используют локальную погрешность численного метода.

· Если величина шага интегрирования дифференциальных уравнений - student2.ru ограничивается только допустимой локальной погрешностью дифференциальных уравнений - student2.ru метода, то такой метод является абсолютно устойчивым к шагу интегрирования. Метод, обладающий таким свойством, позволяет осуществлять выбор шага интегрирования, исходя лишь из требуемой точности. Условно устойчивый метод характеризуется тем, что шаг интегрирования ограничивается не только допустимой локальной погрешностью, но и определенными свойствами решаемой системы. Последние ограничения являются весьма обременительными для некоторых классов задач.

Рассмотрим разностные схемы наиболее широко используемых на практике методов численного интегрирования.

Явный метод Эйлера.

Рассмотрим дифференциальных уравнений - student2.ru , где дифференциальных уравнений - student2.ru , дифференциальных уравнений - student2.ru – текущий шаг интегрирования. Разложим функцию дифференциальных уравнений - student2.ru в ряд Тейлора в окрестности точки дифференциальных уравнений - student2.ru :

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Ограничившись в этом разложении двумя членами, получим разност-ную схему метода Эйлера

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Локальная погрешность метода Эйлера составляет величину

дифференциальных уравнений - student2.ru .

В вычислительной математике численные методы решения обык-новенных дифференциальных уравнений принято характеризовать порядком точности.

Определение. Если локальная погрешность численного метода дифференциальных уравнений - student2.ru ,то порядок точности такого метода равен дифференциальных уравнений - student2.ru .

Метод Эйлера является методом первого порядка.

Приведем геометрическую интерпретацию явного метода Эйлера для задачи Коши

дифференциальных уравнений - student2.ru

(см. рис. 10.2). Приращение на шаге интегрирования – катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла, тангенс которого равен значению производной в предыдущий момент времени. Вторым катетом этого треугольника является текущий шаг интегрирования.

дифференциальных уравнений - student2.ru

Рис. 10.2. Геометрическая иллюстрация явного метода Эйлера

Оценим устойчивость метода Эйлера по отношению к шагу ин-

тегрирования. Для этого рассмотрим линейную автономную систему

дифференциальных уравнений - student2.ru

с отрицательно определенной дифференциальных уравнений - student2.ru матрицей дифференциальных уравнений - student2.ru простой структуры. Отрицательная определенность матрицы означает, что все собствен-ные значения дифференциальных уравнений - student2.ru матрицы действительны и отрицательны, т. е. дифференциальных уравнений - student2.ru . В этом случае все решения дифференциальных уравнений - student2.ru .

Применим для решения этой системы метод Эйлера с постоянным шагом дифференциальных уравнений - student2.ru :

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Здесь E –единичная матрица соответствующей размерности.

Из алгебры известно, что для любой неособенной матрицы дифференциальных уравнений - student2.ru простой структуры существует такая неособенная матрица дифференциальных уравнений - student2.ru , которая преобразованием подобия приводит матрицу дифференциальных уравнений - student2.ru к диагональному виду:

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Преобразуем вычислительную схему метода Эйлера следующим образом:

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Введем замену переменных дифференциальных уравнений - student2.ru . Тогда

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

или

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Запишем это соотношение для i-й компоненты вектора дифференциальных уравнений - student2.ru :

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

или

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

где дифференциальных уравнений - student2.ru , т. е. определяется начальным условием.

Нетрудно видеть, что

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

если дифференциальных уравнений - student2.ru . Именно этим свойством обладает решение автономной системы с отрицательно определенной матрицей. Отсюда приходим к требованиям

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

при этом неравенство дифференциальных уравнений - student2.ru приводит к естественному условию дифференциальных уравнений - student2.ru , т. к. дифференциальных уравнений - student2.ru , а неравенство дифференциальных уравнений - student2.ru - к условию

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Очевидно, чтобы дифференциальных уравнений - student2.ru , необходимо при выборе шага интегрирования выполнить условие

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Таким образом, явный метод Эйлера по отношению к шагу интегрирования является условно устойчивым.

Явление жесткости.

Ограниченная устойчивость численного метода является серьезным недостатком при решении так называемых жестких систем.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

для которого уравнение дифференциальных уравнений - student2.ru имеет единственное решение

дифференциальных уравнений - student2.ru

Рис. 10.3. К определению жесткости дифференциального уравнения

u
дифференциальных уравнений - student2.ru . Любая интегральная кривая такого дифференциального уравнения характеризуется двумя участками с существенно различным поведением решения (см. рис. 10.3), причем первый участок значительно меньше второго. Первый участок с быстрым изменением функции дифференциальных уравнений - student2.ru отражает стремление интегральной кривой к графику функции дифференциальных уравнений - student2.ru и называется пограничным слоем. На втором участке интегральная кривая практически совпадает с графиком дифференциальных уравнений - student2.ru . Однако даже при небольшом отклонении от графика дифференциальных уравнений - student2.ru в любой его точке производная дифференциальных уравнений - student2.ru резко возрастает по сравнению с производной дифференциальных уравнений - student2.ru . Именно по этой причине малый шаг интегрирования, используемый при воспроизведении быстропротекающего участка, не может быть существенно увеличен вне пограничного слоя в явных методах численного интегрирования.

Рассмотрим примеры жестких систем.

1. Простейшее дифференциальное уравнение

дифференциальных уравнений - student2.ru (10.1)

может быть жестким (рис. 10.4) , если интервал наблюдения дифференциальных уравнений - student2.ru зна-

дифференциальных уравнений - student2.ru

Рис. 10.4. Семейство решений уравнения (10.1)

чительно превосходит величину дифференциальных уравнений - student2.ru . Решением такого уравнения является функция дифференциальных уравнений - student2.ru . Пунктирные линии на рис. 10.4 соответствуют различным значениям дифференциальных уравнений - student2.ru .

2. Для иллюстрации явления жесткости дифференциальных уравнений может быть полезной также любая система линейных ОДУ, матрица которой характеризуется большим разбросом собственных значений, например система

дифференциальных уравнений - student2.ru (10.2)

Здесь собственные числа матрицы есть дифференциальных уравнений - student2.ru .

Решение этой системы (рис. 10.5)

дифференциальных уравнений - student2.ru

содержит быструю составляющую как для дифференциальных уравнений - student2.ru , так и для дифференциальных уравнений - student2.ru , хотя по амплитуде быстрая составляющая функции дифференциальных уравнений - student2.ru значительно превосходит аналогичную компоненту функции дифференциальных уравнений - student2.ru (ее на рис. 10.5 в таком масштабе отобразить не удалось).

дифференциальных уравнений - student2.ru

Рис. 10.5. Решение жесткой системы ОДУ (10.2)

Завершая краткую характеристику свойства жесткости дифференциальных уравнений, отметим, что при решении научных задач жесткость уравнений является скорее правилом, чем исключением. По этой причине для таких задач разработаны специальные методы численного интегрирования.

Лекция 11

Одношаговые методы

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Построить простейший неявный одношаговый метод, обладающий свойством устойчивости к шагу интегрирования, оценить его локальную погрешность; дать способ Рунге–Кутта увеличения точности одношаговых методов, проиллюстрировав его методами второго и четвертого порядков точности; привести разностную схему линейных многошаговых методов, получить условия корректного выбора коэффициентов.

Неявный метод Эйлера.

Пусть требуется численно решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Формально неявный метод Эйлера можно получить, рассматривая

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

где дифференциальных уравнений - student2.ru – шаг интегрирования.

Разложим дифференциальных уравнений - student2.ru в ряд Тейлора в окрестности точки дифференциальных уравнений - student2.ru :

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Ограничившись в разложении двумя членами, придем к разностной схеме неявного метода Эйлера:

дифференциальных уравнений - student2.ru .

дифференциальных уравнений - student2.ru Локальная погрешность при этом определяется отброшенными членами ряда Тейлора:

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Сравнивая явный и неявный методы Эйлера между собой (см. рис. 11.1), следует отметить, что методы обладают близкой по модулю, но разной по знаку погрешностью.

Рассмотрим устойчивость неявного метода Эйлера по отношению к шагу интегрирования. Применим его к системе уравнений

дифференциальных уравнений - student2.ru

с отрицательно определенной матрицей дифференциальных уравнений - student2.ru , полагая шаг интегрирования дифференциальных уравнений - student2.ru постоянным:

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Отсюда

дифференциальных уравнений - student2.ru

Пусть дифференциальных уравнений - student2.ru – неособенная матрица, которая преобразованием подобия приводит матрицу дифференциальных уравнений - student2.ru к диагональному виду

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Привлекая матрицу дифференциальных уравнений - student2.ru , преобразуем итерационное правило следующим образом:

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

или

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

где новая переменная

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Запишем результат для дифференциальных уравнений - student2.ru -й компоненты вектора дифференциальных уравнений - student2.ru :

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Отсюда следует, что дифференциальных уравнений - student2.ru при любом дифференциальных уравнений - student2.ru , поскольку все дифференциальных уравнений - student2.ru .

Неявный метод Эйлера является абсолютно устойчивым по отношению к шагу интегрирования. При решении этим методом жестких систем дифференциальных уравнений шаг интегрирования выбирается только из соображений допустимой локальной погрешности.

Методы Рунге–Кутта.

Точность явных одношаговых методов численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

дифференциальных уравнений - student2.ru

можно повысить, сохраняя в разложении функции дифференциальных уравнений - student2.ru в ряд Тейлора большее число членов. Например, метод второго порядка имеет следующую разностную схему:

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

или

дифференциальных уравнений - student2.ru

где

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Основное неудобство такой формы разностной схемы – необходимость вычисления частных производных дифференциальных уравнений - student2.ru , дифференциальных уравнений - student2.ru . Эта трудность значительно возрастает при построении методов более высокого порядка точности.

В методах Рунге–Кутта функции дифференциальных уравнений - student2.ru , где дифференциальных уравнений - student2.ru – порядок точности метода, заменяются на некоторые удобно вычисляемые функции дифференциальных уравнений - student2.ru таким образом, что

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

где дифференциальных уравнений - student2.ru – константа, не зависящая от дифференциальных уравнений - student2.ru .

В методе Рунге–Кутта второго порядка функция дифференциальных уравнений - student2.ru имеет вид

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Разложим функцию дифференциальных уравнений - student2.ru в ряд Тейлора в окрестности точки дифференциальных уравнений - student2.ru :

дифференциальных уравнений - student2.ru .

Подставим это разложение в выражение для дифференциальных уравнений - student2.ru :

дифференциальных уравнений - student2.ru

Сравнивая дифференциальных уравнений - student2.ru и дифференциальных уравнений - student2.ru , нетрудно видеть, что при

дифференциальных уравнений - student2.ru

эти формы совпадают с точностью до члена дифференциальных уравнений - student2.ru .

Если положить дифференциальных уравнений - student2.ru , то дифференциальных уравнений - student2.ru , дифференциальных уравнений - student2.ru . В результате метод Рунге–Кутта второго порядка примет вид:

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

где

дифференциальных уравнений - student2.ru

По аналогии можно построить методы Рунге–Кутта более высоких порядков. Не останавливаясь на выводе, приведем популярный на практике метод Рунге–Кутта четвертого порядка:

дифференциальных уравнений - student2.ru ,

где

дифференциальных уравнений - student2.ru

дифференциальных уравнений - student2.ru

дифференциальных уравнений - student2.ru

На каждом шаге интегрирования в методе Рунге–Кутта четвертого порядка приходится четырежды вычислять значение функции дифференциальных уравнений - student2.ru при разных значениях аргументов. Более того, эти значения функции используются лишь однократно, что отражается на эффективности вычислений.

Методы Рунге–Кутта относятся к классу явных условно устойчивых методов. По этой причине они оказываются неприемлемыми для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Наши рекомендации