Матрицы и определители. Линейные операции над матрицами
Матрицей называется прямоугольная таблица размером m х n, и состоящая из m строк и nстолбцов
![]() |
Числа aij , i=1,m,j=1,n, входящие в данную таблицу, называются
матричными элементами, а индексы i и j элементауказывают
(соответственно) номера строки и столбца, в которых расположен элемент aij.
Если m=n, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица из n строк и n столбцов, называется матрицей n-го порядка.
Каждой матрице порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем или детерминантом этой матрицы и обозначается одним из следующих символов
Числа aij (i,j=1,n)называются элементами определителя.
Если определитель матрицы равен 0, то матрица называется особенной (вырожденной), а если определитель отличен от 0 - то матрица неособенная (невырожденная).
Квадратная матрица называется симметрической, если aij = aji,
т.е. равны элементы, симметричные относительно главной диагонали, т.е. главная диагональ, образована элементами aji , i=1,n .
Диагональной называется матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны 0.
Единичная матрица - это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Обозначается единичная матрица буквами Е или I.
Пример 1.1.1.
Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размерности и равные соответствующие элементы.
Матрица АТ , полученная из данной матрицы А заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А . Если матрица А имеет размеры m х n, то матрица АТ имеет размеры n х m.
Пример 1.1.2.
Линейными операциями над матрицами называются операции сложения (вычитания) и умножения на число. Сложение и вычитание определяется только для матриц одинаковых размеров.
Суммой (разностью) двух матриц А={aij}mn и В={bij}mn называется
матрица С={cij}mn, для которой cij= aij ± bij ,i=1,m,j=1,n.
Произведением матрицы А={aij}mnна число αназывается матрица
В= α {aij}mnдля которой bij =α aij , i=1,m,j=1,n.
Пример 1.1.3.
![]() |
Даны матрицы
и числоα = 4. Вычислить матрицы: С=А+В, D=A-B, М = А4
Умножение матриц А и В, т.е. получение произведения этих матриц С = АВ, возможно лишь в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Такие матрицы называются согласованными.
Произведением двух согласованных матриц Аmk={aij}mk и Вkn={bij}kn
называется такая третья матрица Сmn={cij}mn для кoторой каждый элементcij ,i=1,m,j=1,n вычисляется по формуле (рис. 1.1.1.):
Пример 1.1.4. Вычислить произведение матриц
Можно ли получить произведение BA ?
Число столбцов матрицы A(3) равно числу строк матрицы В(3).
Поэтому произведение АВ= С определено. Матрица С имеет размерность 2х4, а её элементы вычисляются по формуле (1.1.2).
![]() |
Произведение B∙A не определено, т.к. число столбцов матрицы B(4) не равно числу строк матрицы А(2).
Определителем (1.1.1) матрицы второго порядка называется число
![]() |
Определителем матрицы третьего порядка называется число
Студенту следует обратить внимание на правила треугольника вычисления определителей третьего порядка. Пример 1.1.5. Вычислить определитель
Минором М ij (i, j=1,n) элемента аij определителя называется определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент аij .
Алгебраическим дополнением Аij(i, j=1,n) элемента аij определителя называется его минор взятый со знаком (-1)i+j, т.е.
Аij=(-1)i+j Mij (1.1.3)
Пример 1.1.6. Записать миноры и алгебраические дополнения элементов определителя примера 1.1.5.
и т.д. Всего можно записать 9 миноров и 9 алгебраических дополнений элементов и определителя матрицы третьего порядка.
Замечание Определители матриц n-го порядка (n =1,2...) короче называют определителями n-го порядка.
Свойства определителей:
1) определитель не изменится, если транспонировать матрицу определителя;
2) при перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак;
3) определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0;
4) общий множитель для элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
5) определитель равен 0 , если все элементы строки (столбца) равны нулю;
6) определитель не изменится, если к элементам строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель;
7) определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения
![]() |
Например:
Пример 1.1.7. Вычислить определитель примера 1.1.5., используя свойство 7 определителей (разложение произвести по элементам первого столбца)
По аналогии с формулой (1.1.4) вводятся определители n-го порядка
Пример 1.1.8. Используя свойства 1-7 определителей, вычислить определитель четвертого порядка
Матрицей, обратной к матрице А, называется квадратная матрица А-1, такая что A-1 А = Е
Если матрица А невырожденная (det A¹O), то обратная матрица А-1 находится по формуле
где Aij (i, j =
1,n)
- алгебраические дополнения элементов аij (1.1.3)
Пример 1.1.9. Найти матрицу, обратную к данной матрице
Вычислим определитель матрицы А
По формуле (1.1.6) находим (вычисление алгебраических дополнений элементов матрицы А рассмотрено в примере 1.1.6):
Проверка :
Студентам рекомендуется провести вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований.
Ранг матрицы
Рангом матрицы А размерности т х п называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r , но всякий минор порядка большего, чемr, равен 0. Ранг матрицы обозначается r(А).
Свойства ранга матрицы А размерности т´ п
1) 0 ≤ r ≤ rnin(m,n);
2) r =0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая;
3) для квадратной матрицы n-го порядка r=n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная;
4) ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы;
5) ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть (дописать) нулевую строку (столбец);
6) ранг матрицы не изменится, если к элементам строки матрицы прибавить элементы другой строки матрицы, предварительно умноженные на некоторое число;
7) ранг матрицы не изменится, если переставить любые строки (столбцы) матрицы.
Пример 1.1.9. Найти ранг матрицы А
RgA=2 т.к. имеется отличный от нуля определитель второго порядка,
![]() |
например