Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц. Транспонирование матриц.
Понятие матрицы. Прямоугольную таблицу чисел из множества.Матрица -прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.
(1)
назовем матрицей. Матрицы обозначаются латинскими буквами A, B, C, D,…
Матрица A называется квадратной, если . В общем случае матрица называется прямоугольной с размерами или прямоугольной матрицей и обозначается . Числа в (1) называются ее элементами, причем в записи элемента первый индекс всегда указывает номер строки, а второй – номер столбца; элементы образуют -ую строку, а элементы – -тый столбец. В связи с этим для обозначения матрицы (1) будем употреблять запись . Если А – квадратная матрица порядка n, то будем писать .
В математической литературе для записи матрицы (1) используют также квадратные скобки или двойные черты .
Матрицы A и B называются равными , если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны .
Прямоугольную матрицу, состоящую из одного столбца
,
называют столбцовой (матрицей-столбцом) и обозначают так: (символ « » в обозначении, если это не создает недоразумений будем опускать); прямоугольную матрицу, состоящую из одной строки назовем строчной (матрицей-строкой).
Если все элементы матрицы нулевые, то матрица называетсянулевой, ее будем обозначать О. Трапециевидной называют матрицу вида
.
Главной диагональю квадратной матрицы называют совокупность ее элементов , а побочной диагональю или просто диагональю – . Матрица D, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю,
называется диагональной и обозначается так: .
В случае диагональная матрица называется единичной и обозначается (или ).
Если в квадратной матрице все элементы, расположенные с одной стороны от главной диагонали, нули, то она называется треугольной. При этом различают верхнюю треугольную и нижнюю треугольную матрицы:
.
Если элементами матрицы являются функции, то ее называют функциональной.
Действия над матрицами.
Суммой двух матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B:
. (2)
Для обозначения суммы матриц A и B используют запись A+B. Операция нахождения суммы данных матриц называется сложением матриц.
Например,
.
Таким образом, можно складывать матрицы только одинаковых размеров.
Из определения сложения матриц и соответствующих свойств сложения действительных чисел вытекает, что эта операция обладает переместительным и сочетательным свойствами:
1) ,
2) ,
где A,B,C – произвольные матрицы одинаковых размеров.
Очевидно, что операцию сложения матриц можно распространить на случай любого числа слагаемых.
Произведением матрицы на число называется матрица , каждый элемент которой есть произведение соответствующего элемента матрицы A и числа : , т.е.
. (3)
Операция нахождения произведения матрицы на число называетсяумножением матрицы на число.
Например,
.
Из определения (3) произведения матрицы на число вытекают следующие свойства:
1) ,
2) ,
3) .
Здесь – матрицы одинаковых размеров, а – числа из .
Разностью двух матриц и одинакового размера назовем матрицу такого же размера, которая получается с помощью правила
. (4)
Из равенств (4), (3), (2) следует, что каждый элемент матрицы есть разность соответствующих элементов матриц A и B, т.е. , .
Произведением двух матриц
называется матрица
,
у которой каждый элемент , стоящий на пересечении i-той строки
и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:
, . (5)
Таким образом, . Операция нахождения произведения данных матриц называется умножением матриц.
Например:
Отметим, что операция умножения двух матриц выполнима тогдаи только тогда, когда число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором.
Используя определение (5), без труда проверяется сочетательное свойство умножения матриц, а также распределительное свойство умножения относительно сложения:
1) ,
2) ,
3) .
Операцию умножения матриц можно распространить на случай более двух сомножителей.
Заметим, что умножение AB всегда выполнимо, если сомножители A и B квадратные матрицы одного и того же порядка. Обратим внимание, что умножение матриц не обладает переместительным (коммутативным) свойством. Действительно, например, для матриц
имеем
.
Если , то матрицы и называются перестановочными или коммутирующими между собой.
Отметим также, что диагональная матрица , у которой все диагональные элементы – равные числа, т.е. , коммутирует с любой квадратной матрицей , в частности
. (6)
Из формулы (6) вытекает, что при умножении матриц единичная матрица и нулевая выполняют ту же роль, что числа 1 и 0 при умножении действительных чисел.
Заметим, что в отличие от чисел, произведение двух ненулевых матриц может дать нулевую матрицу.
Например, в случае
получаем
.
Введем еще одну важную операцию над матрицей – транспонирование матрицы. Пусть задана матрица A размеров вида (1). После замены строк одноименными столбцами получим матрицу размеров , которая называется транспонированной к заданной:
.
Число строк транспонированной матрицы равно числу столбцов матрицы , а число столбцов – числу строк матрицы .
Операция нахождения матрицы называется транспонированием матрицы, и для нее имеют место следующие свойства:
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
Если квадратная матрица совпадает со своей транспонированной, т.е. , то такая матрица называется симметрической.
Матрицу , для которой , называют кососимметрической.Легко видеть, что в кососимметрической матрице все элементы главной диагонали нули.
Например,
.