Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А и В одинаковой размерности m Линейные операции над матрицами - student2.ru n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: Линейные операции над матрицами - student2.ru

Например, найти сумму матриц Линейные операции над матрицами - student2.ru и Линейные операции над матрицами - student2.ru .

Вычислим элементы матрицы С = А + В, складывая элементы исходных матриц, стоящие на одинаковых местах:

Линейные операции над матрицами - student2.ru

Следовательно, Линейные операции над матрицами - student2.ru

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Например,найти матрицу 5А – 2В, если Линейные операции над матрицами - student2.ru .

Линейные операции над матрицами - student2.ru

Линейные операции над матрицами - student2.ru .

Итак, 5А – 2В Линейные операции над матрицами - student2.ru .

Произведением матрицы А размерности m Линейные операции над матрицами - student2.ru p и матрицы В размерности Линейные операции над матрицами - student2.ruназывается матрица С размерности Линейные операции над матрицами - student2.ru , каждый элемент которой Линейные операции над матрицами - student2.ru определяется формулой: Линейные операции над матрицами - student2.ru Таким образом, элемент Линейные операции над матрицами - student2.ru представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. Линейные операции над матрицами - student2.ru Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей. Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если Линейные операции над матрицами - student2.ru ).

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.

Например,выясним, можно ли умножить друг на друга матрицы

Линейные операции над матрицами - student2.ru и Линейные операции над матрицами - student2.ru .

Если произведение существует, вычислить его.

Сравним размерности матриц А и В: A[3×2], B[2×2]. Следовательно, Линейные операции над матрицами - student2.ru поэтому произведение АВ[3×2] существует, а произведение ВА – нет.

Найдем элементы АВ:

(ab)11 = 0 · 5 + 3 · 7 = 21; (ab)12 = 0 · 6 + 3 · 8 = 24;

(ab)21 = 4 · 5 – 2 · 7 = 6;

(ab)22 = 4 · 6 – 2 · 8 = 8; (ab)31 = 1 · 5 – 1 · 7 = -2;

(ab)32 = 1 · 6 – 1 · 8 = -2.

Таким образом, Линейные операции над матрицами - student2.ru , ВА не существует.


Методические указания к задаче № 3

Ранг матрицы

Минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы. Таким образом, каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка.

Ранг матрицы – это порядок ее наибольшего ненулевого минора (обозначения: r(A), R(A), Rang A).

Пример.

Определить ранг матрицы

Линейные операции над матрицами - student2.ru .

Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А является ее определитель. Если ΔА ≠ 0, r(A) = 3; если ΔА = 0, r(A) < 3.

Найдем ΔА разложением по первой строке:

Линейные операции над матрицами - student2.ru

Следовательно, r(A) < 3. Поскольку матрица А содержит ненулевые элементы, r(A) > 0. Значит, r(A) = 1 или r(A) = 2. Если найдется минор 2-го порядка, не равный нулю, то r(A) = 2.

Вычислим минор из элементов, стоящих на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов:

Линейные операции над матрицами - student2.ru

Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже Линейные операции над матрицами - student2.ru равны 0), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы (эквивалентными преобразованиями). К ним относятся:

1) транспонирование;

2) умножение строки на ненулевое число;

3) перестановка строк;

4) прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число;

5) вычеркивание нулевой строки.

Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые – в ненулевые. Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг.

Пример.

Определить ранг матрицы

Линейные операции над матрицами - student2.ru .

У матрицы А существуют миноры до 4-го порядка включительно, поэтому r(A) ≤ 4. Разумеется, непосредственное вычисление всех миноров 4-го, 3-го и т.д. порядка потребовало бы слишком много времени. Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к треугольному виду. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы элемент а11 стал равным 1:

А ~ Линейные операции над матрицами - student2.ru .

Прибавим к третьей строке первую, ко второй – удвоенную первую, к четвертой – первую, умноженную на 3. Тогда все элементы 1-го столбца, кроме а11, окажутся равными нулю:

А ~ Линейные операции над матрицами - student2.ru .

Вычтем вторую строку полученной матрицы из третьей и четвертой строк:

А ~ Линейные операции над матрицами - student2.ru

и вычеркнем нулевые строки:

А ~ Линейные операции над матрицами - student2.ru .

Итак, ранг матрицы А равен рангу полученной матрицы размера 2×6, т.е.

r(A) ≤ 2. Минор

Линейные операции над матрицами - student2.ru

следовательно, r(A) = 2.

Наши рекомендации