Свойства функций имеющих предел.

Способы задания.

1.Аналитический,т.е. функция задается формулой,указывающей какие математ. Действия нужно произвести над значением аргумента х,чтобы найти значение функции у.При аналитическом способе функция может быть задана:1)Явно,у=f(x).2)Неявно,F(x,e)=0(связаны уравнением).3)Параметрически, х и у выражаются через параметр t.tпринадлежит Т,t-параметр.

2.Графическим,т.е. своим графиком.

3.Табличный,т.е. функция задаётся при помощи таблицы,содержащей конечную совокупность соответствующих друг другу значений х и у.

Пусть у=f(u),au=φ(x),тогда функция у=f(φ(x)) называется сложной функцией,причем х-независимый аргумент,аu-это промежуточный аргумент.

Опереция составления из двух функций сложной функции называется операцией суперпозиции или композиции этих функций.

Графики функций у=f(x) иy=f^-1(x)-симметричны относительно прямой у=х.

Основные элементарные функции

а) тригонометрические:

;

б) обратные тригонометрическим:

;

в) степенная: ;

г) показательная: ;

д) логарифмическая: .

Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над элементарными функциями, а также суперпозицией (или наложением) этих функций составляют класс элементарных функций.

Основные характеристики функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Пример:
Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).
Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).

4. Экстремумы

Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) f(Xmax).
Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.
Хmax – точка максимума
Уmax – максимум
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).
Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.
Xmin – точка минимума
Ymin – минимум
Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

21.Графики и свойства основных элементарных функций.Метод сдвига и деформации при построении графиков.

свойства основных элементарных функций по схеме:

область определения функции;

поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты

проверка на четность и нечетность;

область значений функции;

промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;

промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба

наклонные и горизонтальные асимптоты;

особые точки функций;

особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

22.Предел функций в точке,предел функций при х-›+-∞

Свойства функций имеющих предел.

,то

и =>

А) = =А+-В

Б) расписываем на два предела.

В) выносим константу за знак предела.

Г) ,В неравно 0 и расписываем также на 2 предела(предел в числители и предел в знаменателе)

Д)

3)Пустьf(u)-элементарная функция,а функция имеет предел

Тогда 1.

2. если

3.

4.

5. если

23.Основные теоремы о функциях имеющих предел.

24.Бесконечно малые и бесконечно большие функции,их связь и свойства.Теорема о связи функции,её предела и бесконечно малой функции.

Теорема:Функцияf(x) при x->x0 имеете конечный предел равный числу А,тогда и только тогда,когдаf(x)=A+ α(х),где α(х)-б.м.ф. при x->x0

Доказательство:

=>Пусть =A,А-число,положим,что α(х)=f(x)-А и покажем,что α(х)-б.м.ф.

неравен (f(x)-A)= - А=А-А=0=>α(х)-б.м.ф. при

<=Пусть f(x)=A+ α(х),α(х)-б.м.ф.при ,тогда покажем,что = (A+ α(х))= + =А+0=А

Бесконечно малые функции

Функция f(x) называется бесконечно малой при х->а, где а может

быть числом или одной из величин ∞, +∞или –∞, если limf(x )=0)(x-> a)

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому

числу стремится аргумент х. При различных значенияха функция может

быть бесконечно малой или нет.

Свойства:1)α1(х),α2(х)-б.м.ф. при х-> =>α1(х)+-α2(х) и α1(х)*α2(х)-б.м.ф при х-> .2)α(х)-б.м.ф. при х-> ,а f(x)-ограниченная функция,тоf(x)*α(x)-б.м.ф.при х->

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

Если β(х)-б.б.ф. при х-> ,то -б.м.ф,при х-> и наоборот,еслиα(х)-б.м.ф. при х-> ,то и α(х)неравное 0 при х неравное ,то -б.б.ф.

Пример: = =0,т.к у= -б.б.ф. при ( =∞

25.Эквивалентные бесконечно малые функции.

sinα(x)~α(x)

arcsinα(x)~α(x)

tgα(x)~α(x)

arctgα(x)~α(x)

loga(1+α(x))~(logae)α(x)

ln(1+α(x))~α(x)

aα(x)-1~α(x)lna,a>0,a≠1

(1+α(x))μ-1~μα(x)

1+α(x)n-1~α(x)n

1+α(x)-1~α(x)2

Теорема о замене б.м.ф. эквивалентной.Пусть α(х),α1(х), (х), -б.м.ф. при прих->

,причем α(х) α1(х)и(х-> ) и (х) -,тогда справедливо равенство:

26.Математические неопределенности.Раскрытие математических неопределенностей.

При вычислении пределов вида: ,

Еслиf(x),g(x)являются б.м.ф. или б.б.ф. при х-> ,то в результате вычисления данных пределов мы приходим к так называемым математическим неопределенностям: , , , , , .

Неопределенности типа

Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что

В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.

Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя. (НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ)

Неопределенности типа

Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством

где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

Неопределенности типа

Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа . и

Свойства:

27.Замечательные пределы,ихпрменение при раскрытии мат. неопределенностей.

28.Непрерывность функции в точке.Классификация точек разрыва.Свойства непрерывных функций.

Односторонние пределы.

Число А называется пределом fy=f(x) слева(справа,приx->x0,если для любого Е>0 ceщ. такое что для любого х для lim слева,(х (х0,х0+ )-справа.Выполняется неравенство:

|f(x)|-A|<E при этом пишут.

( (справа)

Пределы слева и справа называются односторонними пределами функции.