Предел и неприрывность функций.

1)Понятие функции.способы задания функции,обратная функция,сложная функция,график функции,операции над функциями:1.Пусть Х и Y-некоторые числовые множества.Функией называется множество упорядоченных пар чисел (x;y),таких,что xэX,yэУ,и каждое Х входит в одну и только одну пару этого множества,а каждое У входит по крайней мере в одну пару.При этом говорят,что числу Х поставлено в соответствие число У,и пишут У=f(x).Число У называется значением функции f в точке X.переменную У называют зависимой переменной(или аргументом).множество Х-областью определения(или существования)функции,а множество Y-множеством значений функции.2.спосбы задания ф-ий:Задать функцию f-значит указать ,как по каждому значению аргумента Х находить соответствующее ему значение функции f(x).существуют 3 основных способа задания функции:Аналитический,табличный,графический. Аналитический способ:этот способ состоит в том что зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы,указывающей,какие действия нужно выполнить, чтобы получить значение ф-ии,соответствующее данному значению.Табличный способ:приведем следующую таблицу:

х		0.1	0.2		0.6		0.8	1.5
У	-1			-2	-8	0.5	-2

Поставим в соответствие каждому Х,записанному в первой строке таблице,число У,стоящее во второй строке этим числом Х,и будем говорить,что полученная функция задана таблицей.Областью определения данной ф-ии яв-ся множество,состоящее из девяти чисел Х,перечисленных в первой строке таблицы,а множеством ее значений-множество,состоящее из девяти чисел У,перечисленных во 2й строке.С помощью таблицы можно задать функцию только при конечном числе значений аргумента.Таблицы часто используют для задания ф-ии.Так хорошо известны,например,таблицы тригонометрических ф-й,таблицы логарифмов и многие другие.Примерром табличного способа задания ф-ии может служить расписание движения поезда,которое определяется местоположение поезда в отдельные моменты времени.Графический способ: Графический способ задания функции обычно используют в практике физических измерений,когда соответствие между переменными ХиУ задается посредством графика.3. Обра́тная фу́нкция-функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества: для всех; для всех 4)Сложная функция-функция от функции.Если z-функция от у,т.е.z(y),а у, в свою очередь-функция от х, т.е. у(х),то,функция f(x)= z(y(x))называется сложной-функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.В такой функции х-независимая,а у – промежуточная переменная.При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу: Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f₁(y₁),y₁ = f₂(y₂), …, y_n-1 = f_n(x), то 5)График функции-множество точек,у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты-соответствующими значениями функции .Обычно рассматриваются графики вещественных скалярных функций одного вещественного переменного , которые являются множеством точек плоскости .В общем случае, график функции (оператора) есть множество

2)Основные элементарные функции: Элементарные функции-функции,которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций алгебраические:степенная,рациональная.трансцендентные:показательная и логарифмическая;тригонометрические и обратные тригонометрические.Каждую элементарную функцию можно задать формулой,то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции,хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.Алгебраическая функция-элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.Формальное определение:Функция называется алгебраической в точке , если существует окрестность точки , в которой верно тождество где есть многочлен от переменной.Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.Степенна́я фу́нкция-функция , где (показатель степени)-некоторое вещественное число.К степенным часто относят и функцию вида ,где k-некоторый масштабный множитель.Существует также комплексное обобщение степенной функции.На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.Рациональная функция-это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где, -многочлены от любого числа переменных.Частным случаем являются рациональные функции одного переменного: , где P(x) и Q(x)-многочлены.Другим частным случаем является отношение двух линейных функций-дробно-линейная функция.Показательная функция-математическая функция ,где называется «основанием»,а -«показателем» степени.В вещественном случае основание степени -некоторое неотрицательное вещественное(действительное)число,а аргументом функции является вещественный показатель степени.В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.В самом общем виде- , введена Лейбницем в 1695 г.Тригонометри́ческие фу́нкции-элементарные функции,которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или,что эквивалентно,зависимость хорд и высот отцентрального угла в круге).Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки.Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено,их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число.Наука, изучающая свойства тригонометрических функций,называется тригонометрией.К тригонометрическим функциям относятся:прямые тригонометрические функциисинус(sin x)косинус(cos x)производные тригонометрические функциитангенс(tg x)котангенс(ctg x)другие тригонометрические функциисеканс(sec x)косеканс(cosec x)

3)Понятие числовой последовательности как функции,заданной на множестве натуральных чисел:Последовательностью-называется функция,заданная на множестве натуральных чисел.Если область значений последовательности-числовое множество,то последовательность называют числовой,если область значений-множество функций,то последовательность называют функциональной.

4)понятие предела и понятие непрерывности ф-ии:Преде́л фу́нкции(предельное значение функции)в заданной точке,предельной для области определения функции-такая величина,к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.Определение:Функция имеет предел в точке , предельной для области определения функции , если для каждой окрестности предела А существует проколотая окрестность точки , образ которой при отображении является подмножеством заданной окрестности точки .Понятие непрерывности ф-ии:Пусть f(x)определена в некоторой окрестности точки х0.ОПРЕДЕЛЕНИЕ1:Функция f(x)называется непрерывной в точке х0,если предел функции и ее значение в этой точке равны,т.е. lim (x->x0)f(x)=f(x0) (1).Т.к. lim (x->x0)х=х0,то соотношение(1)можно записать в следующем виде: lim (x->x0)f(x)=f(lim (x->x0)x).т.е.для непрерывной ф-ии можно переставить знак ф-ии и знак предела.Приведем равносильные определения непрерывности ф-ии «на языке последовательностей»:ф-ия f(x)называется непрерывной в т.х0,если для любой последовательности значений аргумента х:х1,х2,х3,…,хн,…,сходящиеся к х0,последовательность соответствующих значений ф-ии:f(x1),f(x2)…f(xn)…сходится к f(x0)

5)Единственность предела:теорем:Если функция или последовательность имеет предел,то он единственнен.
Доказывается так.Возьмем два числа А1иА2 и пусть они оба пределы последовательности x(n).Тогда для всех n начиная с некоторого N для произвольно взятого числа эпсилон выполняются неравенства модуль(x(n) - A1) <= эпсилон и модуль(x(n) - A2) <= эпсилон. Раскрывая эти неравенства, получаем A1 - эпсилон <= x(n) <= А1+ эпсилон и A2 - эпсилон <= x(n) <= А2+ эпсилон. Если А1 и А2 различны,то может быть, например А1 < А2. Тогда можно подобрать такое эпслон, что будет выполняться только одно из неравенств, а другое выполняться не будет. А должны выполняться оба неравенства сразу при любом эпсилон.

6)Предел Сложной ф-ии:теорема:Пусть дана сложная ф-ия у=f(g(x)),и lim(x->a)g(x)=b; lim(x->b)f(x)=c,тогда lim(x->a)f(g(x)=c,т.е. lim(x->a)f(g(x)= lim(x->a)f(x)=c;Доказательство:нужно показать.что lim(x->a)f(g(x)=c =>для любых(из тетрадки выписать);по условию дано,что lim(x->b)f(x)=c,т.е.для ….

7)Предел и непрерывность суммы,произведения и частного:

8)Предел обратной ф-ии:теорема:пусть дана ф-ия y=f(x),f(x)-строго монотонная(либо возрастающая.либо убывающая);x2>x1=>f(x2)>f(x1);убывающая x2>x1=>f(x2)<любого(x1)и lim(x->a)f(x)=b,Тогда нужно показать,что для любой окрестности т.А существует окрестность в т.В;Возьмём произвольную окрестность Uа и выберем 2 точки х1 и х2:х1<a,x2>a т.к.дана прямая ф-ия y=f(x),то Е f(x1)и f(x2)и т.к. f(x)-монотонная(пусть возрастающая),то f(x1)<f(x2)

9)понятие одностороннего предела: Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны.Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва). Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельна точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.

10)О соотношении обычного предела с односторонними:

11)Непрерывность элементарных ф-ий:Одним из важнейшиных свойств элементарных ф-ий является их непрерывность в каждой точке, в окрестности которой они определены.На примере некоторых функций проверим данный факт,используя определение непрерывности функции в точке.1)непрерывность рациональных ф-ий:Простейшим примером ф-ии,непрерывной в любой т.Х0 числовой прямой,может служить постоянная функции f(x)=C.Действительно в этом случае lim(x->x0)f(x)=C=f(x0),т.е.постоянная ф-ия непрерывна в каждой точке числовой прямой.непрерывна также в каждой точке x0числовой прямой ф-ия f(x)=x,т.к. lim(x->x0)x=x0==f(x0).т.е.постоянная ф-ия в точке х0 равен ее значению в этой точке.

12)Бесконечно-малые и бесконечно большие функции:Функция y=f(x)называется бесконечно малой при x→a или при x→∞,если или ,т.е.бесконечно малая функция–это функция,предел которой в данной точке равен нулю. Примеры.1)Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).2)Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0. 3)f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0. 4)f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.Установим следующее важное соотношение:Теорема.Если функция y=f(x)представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x):f(x)=b+α(x)то .Обратно,если ,то f (x)=b+α(x),где a(x) – бесконечно малая при x→a.Доказательство:1)Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a,при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .2)Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

13)

14)Принцип двойных неравенств:Когда два неравенства соединены словом и,или,тогда формируется двойное неравенство. Двойное неравенство, как -3<2x+5 и 2x+5≤7 называется соединённым,потому что в нём использовано и.Запись -3<2x+5≤7является сокращением для предыдущего неравенства.Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.Пример 2 Решите -3 < 2x + 5 ≤ 7. Постройте график множества решений.Решение У нас есть Множество решений есть {x| - 4 < x ≤ 1}, or (-4, 1]. График множества решений изображён ниже.
Двойное неравенство, как 2x - 5 ≤ -7 или называется разделённым, потому что оно содержит или. В отличие от некоторых соединённых неравенств, оно не может быть сокращено; поэтому, оно не может быть записано безили.

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)Возрастание и убывание функции:Возрастание и убывание функции:функция y=f(x) называется возрастающей на отрезке[a, b],если для любой пары точек х и х',а≤х<х'≤ b выполняется неравенство f(x)≤f(x'),и строго возрастающей-если выполняется неравенство f(x)<f(x').Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции.Например, функция у=х²(рис.,а)строго возрастает на отрезке[0,1],а (рис.,б)строго убывает на этом отрезке.Возрастающие функции обозначаются f (x)↑,а убывающие f(x)↓.Для того чтобы дифференцируемая функция f(x)была возрастающей на отрезке [а, b],необходимо и достаточно,чтобы её производная f'(x)была неотрицательной на[а,b].Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке.Функция у=f(x) называется возрастающей в точке x₀,если найдётся такой интервал(α,β),содержащий точку x₀,что для любой точки х из(α,β),х>x₀, выполняется неравенство f(x₀)≤f(x),и для любой точки х из(α,β),х< x₀,выполняется неравенство f(x)≤ f(x₀).Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x₀.Если f'(x₀)>0,то функция f(x) строго возрастает в точке x₀.Если f(x) возрастает в каждой точке интервала (a,b),то она возрастает на этом интервале.

28)ЭКСТРЕМУМ ЛОКАЛЬНЫЙ:ЭКСТРЕМУМ ЛОКАЛЬНЫЙ:Значение функционала в точке,в к-рой выполняется следующее условие:существует такая окрестность точки,что наименьшего(наибольшего)значения в данной окрестности функционал достигает именно в рассматриваемой точке.

29)ТЕОРЕМЫ Вейерштрасса,ФЕРМА,РОЛЛЯ,ЛАГРАНЖА:Теорема Ферма:Если функция у=f(х),определенная в интервале (а;b),достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего(или наименьшего)значения и существует производная f ′(с),то f ′(с)=0.Геометрический смысл этой теоремы состоит в том,что касательная к графику функции у=f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.).
Теорема Ролля:Если функция у=f(х),непрерывная на отрезке[а;b]и дифференцируемая в интервале(а;b), принимает на концах этого отрезка равные значения f(a)=f(b),то в интервале(а;b)существует такая точка С,что f′(с)= 0. Геометрически эта теорема означает следующее:если крайние ординаты кривой у=f(х)равны,то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс(рис.).
Теорема Лагранжа:Если функция у=f(х)непрерывна на отрезке[а;b] и дифференцируема в интервале(а;b),то в этом интервале найдется такая точка с,что Эта теорема имеет простой геометрический смысл(рис.):на графике функции у = f (х) между точками А и В найдется такая внутренняя точка С,что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ. Следствие.Если f′(x)=0 в интервале(а;b),то в этом интервале функция f(х)постоянна.

30)Правило Лопиталя:Правило Лопиталя:представляет собой метод вычисления пределов,имеющих неопределенность типа или .Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.Если и ,то ;Если и ,то аналогично .Это правило впервые упоминалось в книге по дифференциальному исчислению,опубликованной в 1696 году французским математиком Гийомом Лопиталем(1661-1704). Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований.А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов. ПРИМЕР:Вычислить предел .Решение.Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

31)Дифференциальные признаки монотонности и постоянства функции: Теорема.Пусть непрерывна на промежутке , тогда:1)если,то функция возрастает(убывает)на.2)если,то функция строго возрастает(строго убывает)на .Доказательство:для случая возрастания:Пусть.Возьмем для возрастает.Геометрический смысл теоремы2:Если,то касательная везде образует положительный острый угол, т.е. функция идет вверх.

32)Расположение графика ф-ии относительно касательной:1)Касательная есть предельное положение секущей при 2)Касательная к графику дифференцируемой в точке х₀функции f-это прямая,проходящая через точку(х₀;f(x₀))и имеющая угловой коэффициент f ^\(х₀).3)Касательной к графику функции называется прямая,имеющая с данной кривой единственную общую точку.пример:Прямая х=2 имеет с параболой у=(х-1)²одну общую точку(2;1),но касательной не является.Прямая у=2х-3,проходящая через эту точку,является касательной к графику данной функции.Покажем это.Мы знаем, что если существует производная функции у=f(x)в точке х₀,то существует и касательная к графику этой функции. Уравнение касательной имеет вид:у= f(x₀)+f ^\(x₀)(х-х₀);у ^\(х)=2х-2, у ^\(х₀)=у ^\(2)=2, у(х₀)=у(2)=1.Уравнение касательнойу=1+2(х-2)=2х-3, у=2х-3.

33)Точки Выпуклости и перегиба функции:Непрерывная на отрезке[a;b]функция f (x)называется выпуклой вверх на этом отрезке,если для любых точек x₁ и x₂ из этого отрезка

Выпуклая вверх функция.

Другими словами, если для любых точек x₁ и x₂ отрезка[a;b]секущая AB проходит под графиком функции f(x),то функция f выпукла вверх.Аналогично определяется функция,выпуклая вниз.Дважды дифференцируемая на[а;b]функция f(x)выпукла вверх,если для любого

Дважды дифференцируемая на[a;b]функция f(x)выпукла вниз,если для любого

Так,вторая производная функции равна откуда следует,что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.Пусть функция f(x)непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную.Тогда точка называется точкой перегиба функции f,если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.Необходимое условие наличия точки перегиба:Если –точка перегиба функции f(x),и функция f(x) имеет вторую производную,непрерывную в этой точке,то

Достаточные условия наличия точки перегиба.Пусть функция f(x)непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если меняет знак при переходе через точку то –точка перегиба функции f(x).Если то –точка перегиба функции f(x).В заключение приведем примеры,когда точка x₀ не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:если функция разрывна в точке (например );в случае угловой точки (например, Не являются точками перегиба и точки возврата,например точка у функции

Все вышеперечисленные случаи изображены на рисунке.

34)Схема исследования ф-ии: 1.Область определения2.Исследование функции на четность,нечетность и периодичность.Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство ,то –четная функция;если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство , то – нечетная функция; в противном случае, –общего вида.График четной функции симметричен относительно оси ординат,график нечетной функции симметричен относительно начала координат.3.Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат.Точки пересечения с осью ОХ: ,где –решение уравнения .Точки пересечения с осью ОY: .4.Нахождение промежутков знакопостоянства функции.Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции,где функция принимает положительные или отрицательные значения, т.е. или 5.Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек.Критические точки функции–внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.6.Нахождение промежутков возрастания,убывания,точек экстремума и экстремумов.Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.7.Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба.Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.8.Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва.Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо вычислить односторонние пределы: и . Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая – вертикальная асимптота.При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при и . Для этого нужно вычислить следующие пределы: и . Если оба предела существуют, то – уравнение наклонной асимптоты при . Частный случай наклонной асимптоты при – горизонтальная асимптота. Аналогично ищется наклонная асимптота при . 9.Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)

35)Понятие первообразной:Функция F(х)называется первообразной функцией для данной функции f(х)(или, короче,первообразной данной функции f(х))на данном промежутке,если на этом промежутке
Пример.Функция является первообразной функции на всей числовой оси,так как при любом х.Отметим,что вместе с функцией первообразной для является любая функция вида ,где С-произвольное постоянное число(это следует из того,что производная постоянной равна нулю).Это свойство имеет место и в общем случае.Теорема 1.Если и -две первообразные для функции f(х) в некотором промежутке,то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.Из этой теоремы следует,что если известна какая-нибудь первообразная F(х) данной функции f(х),то все множество первообразных для f(х) исчерпывается функциями F(х)+С.Выражение F(х)+С,где F(х)-первообразная функции f(х)иС-произвольная постоянная,называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается символом ,
причем f (х) называется подынтегральной функцией; -подынтегральным выражением,х-переменной интегрирования;∫-знак неопределенного интеграла.Таким образом,по определению
если

36)Основные свойства неопределенного интеграла:1.Производная от н.и.равна подынтегральной функции,а дифференциал-подынтегральному выражению: 2. в частности, Свойства 1,2следуют из определения н.и. 3.Н.и.от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме н.и.от каждого слагаемого.Докажем,что (Равенство понимается с точностью до постоянного слагаемого.)Действительно,по 1: Таким образом,левая и правая части имеют одинаковые производные и могут отличаться лишь постоянной. 4.Постоянный множитель можно выносить за знак н.и: 5. Независимость вида н.и. от выбора аргумента(инвариантность формы интеграла): где имеет непрерывную производную.Действительно, по свойству инвариантности формы дифференциала: Частным случаем 5° является = F(ax + b) + с.Очевидно, учитывая, что d(ax + b) = a dx, получаем формулу

37)Неопределенные интегралы простецших элементарных функций:

38)Формула интегрирования по частям: .То есть,подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) на d(v(x))- дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования)и d(u(x))-дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности .Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.В качестве примера найдем множество первообразных функции логарифма.

39)ЗАДАЧИ,ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА:Задача о пройденном пути:Требуется найти путь, пройденный движущейся по прямой точкой за отрезок времени ,если известен закон изменения мгновенной скорости v=v(t).Разобьем отрезок моментами времени (точками) на n отрезков времени (частичных отрезков)и положим Наибольшую из этих разностей обозначим через λ:
.Если эти отрезки достаточно малы,то без большой ошибки движение на каждом из них можно считать равномерным,что дает для пути приближенное выражение где -одна из точек сегмента . Эта сумма тем точнее выражает искомый путь s,чем меньше каждый из временных отрезков , k = 1, 2, ..., n.Поэтому за путь s, пройденный точкой в течение промежутка времени со скоростью v = v (t), естественно принять предел указанной суммы при λ→0: (1)
Задача о площади криволинейной трапеции: Пусть требуется найти площадь плоской фигуры (рис.),
ограниченной графиком функции у = f (х), непрерывной и неотрицательной на отрезке [a ; b], и отрезками прямых .Эта фигура называется криволинейной трапецией. Разобьем [a ; b] точками
на n частичных отрезков и положим .Наибольшую из этих разностей обозначим через λ: .На каждом частичном отрезке , = l, 2, ...,n, выберем произвольную точку
. Произведение даст площадь прямоугольника, имеющего основание и высоту , а сумма -приближенно площадь S криволинейной трапеции aABb. Отсюда, как и в предыдущей задаче,

40)Понятие интегральной суммы,интеграл Римана:Геометрический смысл интеграла Римана.Интегра́л Ри́мана-одно из важнейших понятий математического анализа.Введён Бернхардом Риманом в 1854,и является одной из первых формализаций понятия интеграла.Неформальное геометрическое описание:Риман формализовал понятие интеграла,разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика(фигуры,заключенной между графиком функции и осью абсцисс).Для этого он рассмотрел фигуры,состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка(см. рисунок).Если при «размельчении» разбиения существует предел,к которому сходятся площади таких фигур(интегральные суммы),этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.Определения:Через интегральные суммы.Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим разбиение отрезка -конечное множество попарно различных точек отрезка.Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков .Длина наибольшего из отрезков d=max(Δxi), где Δxi = xi − xi _{− 1},называется диаметром разбиения.Отметим на каждом отрезке разбиения по точке Интегральной суммой называется выражение .Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции f на отрезке[a,b], т.е. В этом случае,сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на[a,b]; в противном случае fявляется неинтегрируемой(по Риману) на отрезке [a,b].Через суммы Дарбу.Пусть на отрезке[a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка .Верхней суммой Дарбу для Δ называется число Соответстенно, нижней суммой Дарбу для Δ называется Функция называется интегрируемой по Риману, если существует вещественное число В этом случае, по определению Свойства:Если функция F является первообразной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b)-F(a).Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману.Ограничение: Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на меньшем отрезке [a₁,b₁], где .Если функция интегрируема на отрезке [a,b] и на отрезке [b,c], то она интегрируема и на отрезке [a,c] и .Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и , то функция αf + βg тоже интегрируема, и Предел: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и

41)Верхние и нижние суммы Дарбу.Суммы Дарбу:Пусть функция f (x) ограничена на отрезке [a, b] и τ – разбиение этого отрезка точками a = x ₀ < x ₁ < … < x _{i - 1} < x _i < … < x _n = b.Обозначим через m _i и M _i соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани этой функции на отрезке [ x _{i - 1}, x _i] и составим следующие суммы: , .Эти суммы называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции f (x)для данного τ – разбиения отрезка [a, b]. Из определения нижней и верхней граней следует, что m_i ≤ f ( ξ_i ) ≤ M_i при вследствие чего имеем т. е. любая интегральная сумма и суммы Дарбу для данного разбиения связаны неравенствами s ≤ σ ≤ S. Суммы Дарбу имеют простой геометрический смысл. Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию f (x) на [a, b] и криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную графиком функции f (x), двумя вертикальными прямыми, проведенными через точки a и b оси Ох, и осью Ох. Поскольку функция f (x) непрерывна на [a, b], она непрерывна и на [x_{i - 1}, x _i]. По второй теореме Вейерштрасса функция f(x) достигает на [x _{i - 1}, x _i] свои точные грани, и, следовательно, m _i иM _i — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. Поэтому сумма S равна площади заштрихованной на ступенчатой фигуры, «описанной» около криволинейной трапеции, а сумма s равна площади ступенчатой фигуры, «вписанной» в данную криволинейную трапецию.Следует особо отметить, что суммы Дарбу зависят только от разбиения отрезка [a, b], в то время как интегральная сумма σ зависит еще и от выбора точек ξ _i на частичных отрезках [ x _{i - 1}, x_i ]. При фиксированном разбиении отрезка [a, b] суммы s и S – некоторые числа, а сумма σ – переменная величина, так как точки ξ _i произвольны.

42)Интегрируемость непрерывных функций:Если функция f(x)непрерывна на отрезке[a b],то она интегрируема на нем.
Доказательство.Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b],то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нем.Выберем произвольное как угодно малое ε>0.Согласно следствию из теоремы Кантора для положительного числа ε /(b - a) найдется δ > 0 такое, что при разбиении отрезка [a, b] на частичные отрезки [x _{i - 1}, x_i], длина которых Δ x_i < δ, все колебания ω_i меньше ε /(b - a). Отсюда при λ < δ.Следовательно, для непрерывной на отрезке [a, b] функции f (x) выполнено достаточное условие интегрируемости, а из него вытекает существование определенного интеграла.

43)Свойства определённых интегралов:1)Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у=f(x),осью абсцисс,и прямыми х=а,х=b.Ниже приведена программа для построения криволинейной трапеции в пакете MAPLE.1)Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то значение определённого интеграла изменится на противоположное

Доказательство: .2)Если промежуток интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю 2.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла где С — некоторое число.
Доказательство: 3)Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций: Это свойство остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.
Доказательство. 4)Если промежуток интегрирования разбит на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по каждой части. Доказательство.Пусть а<с<b и функция f(x) неотрицательна на [a,b].Согласно геометрическому свойству определенного интеграла , есть площади соответствующих криволинейных трапеций. Тогда при сделанных предположениях имеем равенство между площадями S = S ₁ + S ₂.5)Если на отрезке [a, b], где а < b, имеет место неравенство 0 ≤ f (x) ≤ g (x), то Обе части неравенства можно проинтегрировать, при этом смысл неравенства остаётся прежним.
Доказательство. Пусть фиксированы разбиение отрезка [a, b] и выбор точек x ₁, x ₂,…, x _n на каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства f (x) ≤ g (x) вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм: .Переходя к пределу при max Δ x_i → 0, получим рассматриваемое неравенство для интегралов.
Следствие. Пусть на отрезке [a, b] где а < b, имеют место неравенства m ≤ f (x) ≤ M, где m и М — некоторые числа. Тогда Теорема о среднем. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], где а < b, то найдется такое значение c Î [a, b], что По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения х Î [a, b] вверны неравенства m ≤ f(x) ≤M, где m и М — наименьшее и наибольшее значения функции на [a, b]. Тогда, Функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число с Î [a, b], что что и требовалось доказать.

44)Формула Ньютона-ЛейбницаПусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

45)Геометрические и физические приложения определенного интеграла: 1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y =f(x)( f(x)>0), прямыми x = a , x = b и отрезком [ a , b ] оси Ох, вычисляется по формуле 2. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f ( x ) и y = g ( x ) ( f ( x )< g ( x )) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле 3. Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x ( t ), y = y ( t ), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой и прямыми х=a , x= b , находится по формуле 4. Пусть S ( x )- площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, тогда объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси плоскостями х=а и х= b , находится по формуле 5. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f ( x ) и прямыми y=0, х=а и х= b , вращается вокруг оси Ох, тогда объем тела вращения вычисляется по формуле 6. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная кривой х= g ( y ) и прямыми x =0, y = c и y = d , вращается вокруг оси О y , тогда объем тела вращения вычисляется по формуле 7. Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением y = f ( x ) (или x = F ( y )), то длина дуги определяется формулой