Инейные разностные уравнения первого порядка

Пусть – размер популяции в конце n – го периода времени. Предположим, что скорость роста популяции в любой период времени пропорциональна размеру популяции в начале этого периода. Если постоянную пропорциональности обозначить через а, то, учитывая, что прирост популяции выражается величиной , получим: . Сгруппировав члены, приходим к разностному уравнению первого порядка

. (1.1)

Пусть известен начальный размер популяции . Тогда из уравнения (1.1) последовательно находим:

Таким образом, общее решение или общая формула для имеет вид:

. (1.2)

Если постоянная пропорциональности , то выполняется условие и, следовательно, безгранично возрастает с ростом n. Отсюда следует, что при . Если , то популяция остается на постоянном уровне , . Это случай нулевого роста. Если , то и при . Заметим, что при популяция вымирает после первого же периода времени. Значения нас не интересуют, так как они приводят к отрицательным численностям.

Пример 1.4. Популяция бактерий первоначально насчитывала 1000 особей и постоянно увеличивалась с темпом роста 50 % в каждый час. Какова численность популяции после 10 часов роста?

Решение. Пусть – численность популяции бактерий после n часов роста. По условию задачи, и . Общее решение разностного уравнения есть . По прошествии 10 часов размер популяции составит .

Рассмотренное выше уравнение представляет собой пример линейного разностного уравнения первого порядка.

Определение 1.2. Линейным разностным уравнением первого порядка называется уравнение

, (1.3)

где и – заданные функции от n.

Если известно , то по уравнению можно определить .

Если , то уравнение (1.3) называется однородным, и неоднородным – в противном случае .

Рассмотрим однородное уравнение

(1.4)

Считая в (1.4) последовательно находим:

(1.5)

Формула (1.5) есть общее решение уравнения (1.4).

Пример 1.5. Рассмотрим популяцию бактерий, растущую от начального размера в 1000 особей таким образом, что ее размер по прошествии n+1 часов больше размера после n часов в раза. Какова численность популяции после 10 часов роста?

Решение. Пусть – размер популяции после n часов роста. Известно, что и что . Это разностное уравнение первого порядка при . Используя (1.5), имеем:

Размер популяции после 10 часов равен .

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (1.3). Считая из уравнения (1.3) последовательно находим:

(1.6)

Формула (1.6) дает общее решение неоднородного уравнения (1.3).

Пример 1.6. Популяция бактерий растет от начального размера в 1000 особей таким образом, что ее прирост в интервале от n до n+1 часов с начала роста составляет . Каков размер популяции после 10 часов роста?

Решение. По условию, и , где – размер популяции после n часов роста. Учитывая, что , , находим:

Общий вид решения таков:

.

Выражение в скобках представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с параметрами . Используя формулу , получим:

.

Итак, .

После 10 часов роста размер популяции составит

.

С течением времени размер популяции бактерий приближается к предельному, или равновесному, размеру, равному 2000.