Метод интегрирования по частям. Интегрированием по частямназывается вычисление интеграла по формуле
Интегрированием по частямназывается вычисление интеграла по формуле
,
где u и v – дифференцируемые функции от х.
Данная формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за u берется такая часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Так, например
1. Для интегралов вида
, , ,
где P(x) – многочлен, а - число, полагают u = P(x), а все остальные сомножители – dv.
2. В интегралах вида
, , ,
,
полагают Р(x)dx = dv, а остальные сомножители – u.
3. В интегралах вида
,
за u можно принять любую из функций eaxили sin bx (или cos bx).
Пример 13. Вычислить интеграл .
Решение. Положим u = x, dv = , тогда
du = dx, v = = , т. е. v = -cos x.
По формуле интегрирования по частям, имеем
.
Пример 14. Вычислить интеграл
Решение. Положим dv = x2dx, ln x = u, тогда
v = , du = и
.
Пример 15. Вычислить интеграл I= .
Решение. Пусть u = ex, dv = sin x dx, тогда
du = exdx, v = .
Следовательно
I = -excos x + .
Полученный интеграл проинтегрируем также по частям, положив u = ex, dv = cos x dx, тогда du = exdx и v = и следовательно I = -excos x + (еxsin x - ) = -excos x + exsin x - I.
Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом I.
2I = -excos x + exsin x,
I = .
Определенный интеграл
Определение определенного интеграла
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b], a < b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а = x0 < x1 < x2 < … < < xi-1 < xi < … < xn = b. В каждом элементарном отрезке [xi-1; xi] выберем произвольную точку x (xi-1 £ x £ xi) и обозначим через Dxi = xi - xi-1 длину каждого такого отрезка. Тогда сумма вида
называется интегральной суммой для функции f(x) на [a; b].
Обозначим через l длину наибольшего элементарного отрезка разбиения: l = mаx{Dxi}.
Определение 1.Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при l®0, т.е.
= .
Здесь числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.
Для существования определенного интеграла от функции f(x) на отрезке [a; b], достаточно ее непрерывности на этом отрезке.
Определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b, т. е. S = . В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.