Вычисление определенного интеграла методом замены переменной
При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки или в определенный интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами t1 и t2, которые находятся из исходной подстановки.
Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: .
Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений .
Таким образом, имеем
Пример 1: Вычислить определенный интеграл методом замены переменной
Решение: =
.
Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .
Решение:
.
Вопросы для самопроверки по теме 3 Интегральное исчисление:
- В чем заключается смысл действия, обратного дифференцированию?
- Дать определение первообразной функции
- Чем отличаются друг от друга любые две первообразные данной функции ?
- Как проверить, правильно ли найдена первообразная данной функции ?
- Дать определение неопределенного интеграла.
- Перечислить свойства неопределенного интеграла
- Дать определение определенного интеграла.
- Перечислить свойства определенного интеграла.
- Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
- В чем отличия методов замены переменной в определенном и неопределенном интегралах?
Варианты контрольных заданий
Вариант 1.
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
. Вычислить 
б) 
в) 
г) 
Задача 2. В какой момент времени скорость тела, движущегося по закону 
равна нулю.
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Фигура, ограниченная прямыми 
и осью Оx, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем полученного тела вращения.
Вариант 2
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
.
б) 
. Вычислить 
в) 
г) 
Задача 2. Построить график скорости движения тела, заданного уравнениями:
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Найти объем тела, полученного вращением части кривой 
отсекаемой осью Оx от ее вершины, вокруг оси абсцисс.
Вариант 3
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
.
б) 
в) 
. Вычислить 
г) 
Задача 2. В какой момент времени скорость тела, движущегося по закону 
окажетсяравной 27 ед.
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Фигура, ограниченная прямыми 
вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем полученного тела вращения.
Вариант 4
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
.
б) 
. Вычислить 
в). 
г) 
Задача 2.Найти уравнение касательной к кривой 
, проходящей через точку с абсциссой, равной -1
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Фигура, образованная кривой 
и прямыми 
вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем полученного тела вращения.
Вариант 5
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
.
б) 
в). 
. Вычислить
г) 
Задача 2.Тело движется прямолинейно по закону 
. Определить скорость тела в конце пятой секунды ( 
). Путь 
выражен в метрах
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Фигура, ограниченная кривой 
вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем полученного тела вращения.
Вариант 6
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
.
б) 
. Вычислить
в). 
г) 
Задача 2.Найти уравнения касательных к кривой 
, образующих с осью абсцисс угол 135 градусов.
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Найти объем тела, поверхность которого образуется вращением кривой 
вокруг оси Oy.
Вариант 7
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
.
б) 
.
в) 
Вычислить 
г) 
г)
Задача 2. Построить график скорости движения тела, заданного уравнениями:
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций,
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 
и прямой 
Вариант 8
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
Вычислить
б) 
.
в). 
г) 
Задача 2.Найти уравнения касательных к кривой 
, параллельных оси Оx.
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в)
г) 
Задача 6. Шар, диаметр которого равен 12 см, рассечен тремя параллельными плоскостями, удаленными друг от друга на расстояния, равные четвертой части его диаметра. Определить объем вырезанного шарового слоя.
Вариант 9
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
. Вычислить
б) 
.
в) 
г) 
г)
Задача 2. Построить график скорости движения тела, заданного уравнениями:
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Найти объем шарового сегмента высотой 3 см, отсеченного от шара радиуса 6 см
Вариант 10
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
б) 
.
в). 
Вычислить 
г) 
Задача 2. В каких точках кривой 
, надо провести касательную, чтобы она была параллельна прямой 
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Найти объем тела, поверхность которого образуется вращением дуги окружности 
и прямых 
вокруг оси ОY
Вариант 11
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
б) 
Вычислить
в). 
.
г) 
Задача 2.Построить график изменения скорости тела, движущегося по закону 
, на отрезке времени 
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси OYфигуры, ограниченной прямыми 
Вариант 12
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
.
б) 
. Вычислить 
в) 
г) 
Задача 2. Построить график скорости движения тела, заданного уравнениями:
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Площадь фигуры, ограниченной положительными полуосями координат и прямыми 
, равна 48 кв.ед. масшатаба. Определить a(верхний предел интеграла)
Вариант 13
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
. Вычислить 
б) 
в). 
.
г) 
Задача 2. В каких точках кривой 
надо провести касательную, чтобы она была параллельна прямой 
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Найти объем параболоида, поверхность которого образована вращением дуги параболы 
, заключенной между прямыми 
, вокруг оси Оx.
Вариант 14
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
б) 
. Вычислить 
в). 
г) 
Задача 2. Найти уравнение касательной к кривой 
, параллельной прямой
.
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Найти площадь, ограниченную прямыми 
.
Вариант 15
Задача 1. Найти производные следующих функций:
а) 
б) 
. 
в). 
. Вычислить
г) 
Задача 2. К кривой 
проведена касательная в точке 
. Найти уравнение этой касательной.
Задача 3. Найдите промежутки монотонности следующих функций
Задача 4. Исследуйте на экстремум следующие функции
Задача 5. Найти следующие интегралы:
а)
б) 
в) 
г) 
Задача 6. Фигура, ограниченная дугами парабол 
и осью абсцисс, вращается вокруг оси ординат. Найти объем полученного тела вращения