Математические модели с использованием систем массового обслуживания

Эти системы основаны на марковском случайном процессе. Физическая система S с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое) случайным образом. Тогда в системе S протекает случайный процесс, который называется марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в "будущем" зависят только от его состояния в данный момент времени t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Вероятностные характеристики в "будущем" можно найти: например, вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии S₁ или сохранит состояние S₀ и т. .

Таким образом, в марковском случайном процессе "будущее" зависит от "прошлого" только через "настоящее".

Рассматривая марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, удобно будет представлять, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, отказов, восстановлений и т. п.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, — простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским. Это и естественно, так как простейший поток не обладает последействием: в нем "будущее" не зависит от "прошлого".

Если система S находится в каком-то состоянии S_i, из которого есть непосредственный переход в другое состояние S_j (стрелка, ведущая из S_i в S_j на графе состояний), то это можно представлять так, как будто на систему, пока она находится в состоянии S_j, действует простейший поток событий, приводящий ее по стрелке S_i – S_j. Как только появится первое событие этого потока, происходит "перескок" системы из S_i в S_j.

Для наглядности очень удобно представлять граф состояний. Построим размеченный граф состояний для технического устройства из двух узлов. Состояния системы будут:

· S₀ — оба узла исправны;

· S₁ — первый узел ремонтируется, второй исправен;

· S₂ — второй узел ремонтируется, первый исправен;

· S₃ — оба узла ремонтируются.

Интенсивность потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, вычисляется при условии, что среднее время ремонта узла не зависит от того, ремонтируется ли один узел или оба сразу. Это будет именно так, если ремонтом каждого узла занят отдельный специалист. Найдем все интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Пусть система находится в состоянии S_o. Какой поток событий переводит ее в состояние S₁? Очевидно, поток отказов первого узла. Его интенсивность равна единице, деленной на среднее время безотказной работы первого узла. Какой поток событий переводит систему обратно из S_i в S_j? Очевидно, поток "окончаний ремонтов" первого узла. Его интенсивность равна единице, деленной на среднее время ремонта первого узла. Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем стрелкам графа рис. 3.

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, легко построить математическую модель данного процесса.

В самом деле, пусть рассматривается система S, имеющая n возможных состояний S₁, S₂, …, S_n. Назовем вероятностью i -го состояния вероятностьp_i(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии S_j. Очевидно, что для любого момента сумма всех вероятностей состояний равна единице:

(12)

Рис. 3. Размеченный граф

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний, можно найти все вероятности состояний p_i(t) как функции времени. Для этого составляют и решают так называемые уравнения Колмогорова — особый вид дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.