Пределенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

войства определенного интеграла.

I) Аддитивность (от лат-го additivus – прибавленный) интеграла, как функции отрезка интегрирования.

(пусть , тогда )

(б/д)

Df 1При a=b положим - интеграл с одинаковыми пределами интегрирования = 0

Df 2 При a>b положим , если один из интегралов (т.е при перестановке между собой верхнего и нижнего пределов интегрирования интеграл умножается на -1)

Эти определения естественно обобщают введенное ранее определение определенного интеграла. При этом в интегральных суммах нужно ввести понятие ориентированного отрезка и считать, что

, если

, если

(2) Пусть f(x) – интегрируема на большем из отрезков [a,b] , [a,c] , [c,b].

а с b

a<c , a<b , c<b (a<c<b) => f(x) интегрируема на двух других отрезках и справедлива формула. (б/д)

Df Положим

Для функции , где a<b , положим

Т.е при перестановке между собой верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл умножается на «-1».

II Свойства, связанные с арифметическими действиями над подынтегральными функциями

инейность

Пусть и справедлива формула:

Док-во

Возьмем . Тогда , тогда:

предел из соответствующего равенства следует из свойств пределов

Замечание. Свойство (3) может быть обобщено на конечную сумму интегрируемых функций

днородность

И справедливо равенство:

5) Пусть и

а)

б) если

Док-во

Возьмем

тогда , тогда

амечание.

Свойство (5а) может быть обобщено на конечное произведение интегрируемых функций

III Некоторые оценки интеграла

Пусть

Доказательство

, составим интегральную сумму:

используя свойства пределов (теорема о переходе к пределу в неравенствах) при , перейдем в (*) к пределу и получим:

Следствие из (6)

Пусть и

Доказательство следует из свойства (6), если обозначить и использовать свойство линейности

(7) Пусть и

Доказательство

Т.к. , то . Применяя следствие из теоремы 6 к неравенствам

получим неравенства:

, которое можно записать как одно неравенство

Т.е. абсолютная величина интеграла от непрерывной функции не больше интеграла от абсолютной величины этой же функции

Следствие из (7)

По свойствам (6) и (7)

(8) Пусть определена на за исключением конечного числа точек

(б/д).

В частности, отсюда вытекает, что если

Следствие из (8)

Пусть за исключением конечного числа точек

одновременно или интегрируемы, или не интегрируемы на и, если интегрируемы, то

Доказательство следует из свойства (8) и свойства линейности , если положить

амечание.

Согласно свойству (8) можно рассматривать интегралы от ограниченных функций, не определенных в конечном числе точек . Для этого необходимо доопределить произвольным образом функцию в

IV Теорема о среднем.

(9)Пусть:

Тогда

, что

… (1)

ок-во.

Отметим, во-первых

Действительно - ограниченная на [a,b] =>

, как произведение интегрируемых функций

Положим далее для определенности a<b

И . Другие случаи доказываются аналогично.

Очевидно:

, проинтегрируем это выражение по [a,b]:

Возможны два варианта (из сво-ва (6) )

Но тогда (1) выполняется .

Разделим (2) на

ледствие. А.

Пусть и сохранит знак :

Док-во

Условия св-ва (9) выполнены => справедлива формула (1)

Но т.к , то по th о промежуточном значении непрерывных на отрезке функций

3)

ледствие. В.

Пусть

Что 4)

Док-во => из свойства (9), если положить

ледствие С.

Пусть

5)

Док-во следует из следствия А, если положить . Равенство 5) чаще всего называют теоремой о среднем значении. Оно имеет простой геометрический смысл.

Df: - называют криволинейной трапецией.

прямоугольник с высотой

где равновеликая криволинейная трапеция с основанием [a,b]

амечание.

Помимо классов функций введем классы

, где - множество всех функций f(x), определенных и ограниченных на [a,b];

- множество всех функций f(x), определенных и монотонных на [a,b].

Тогда:

.

пределенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Мы рассматривали интегралы с постоянными пределами интегрирования , где a и b – const

Величина такого интеграла для данной подынтегральной функции зависит только от пределов интегрирования “a” и “b” и не зависит от x.

Если менять, например, верхний предел “b”, то величина интеграла станет некоторой функцией от переменной “x”.

Df1 Пусть

С переменным верхним пределом интегрирования.

Обозначим переменную интеграла в буквой t, чтобы не смешивать ее с верхним пределом x, т.е .

Аналогично - интеграл с переменным нижним пределом.

Рассмотрение ин-ла как функции нижнего предела не представляет специального интеграла, т.к в силу свойств интеграла Задача свелась к изучению интеграла как функции верхнего предела.

Относительно этой функции докажем следующие теоремы.

Th1 (о непрерывности определенного интеграла Римана как функции верхнего предела)

Док-во

Пусть имеем, в силу аддитивности интеграла Римана

- ограничена на [a,b] , т.е

Отсюда:

Но т.к ч.т.д

Th2 (Диф-ность ) (2й вариант док-ва)

(О диф-ти О.И.Римана, как функции верхнего предела)

Док-во

Изth1 известно, что и (1),

Применим к ин-лу (1) th-му о среднем, т.е

Найдем производную функции

…(*)

Т.к , то или

th доказана.

- есть первообразная, для f(x) на [a,b].

Т.О. если , то (инт. )

По его переменному верхнему пределу x на этом сегменте и равна значению f(x) подынтегральной функции f(t) при t=x

Тогда => th-мы.

Th a) Если , то ф-я , .

Является первообразной для ф-и f(x) на этом сегменте ([a,b]).

Th б) - ф-я имеет на ней первообразную.

бъяснение.

В равенстве (*) использована непрерывность:

Если , а значит

. Т.к f-непр. Ф-я, то отсюда =>,

Что . Или th доказана.

Когда тогда , то .

амечание.

Если x=”a” или “b”, то под следует подразумевать односторонние производные.

Следствие 1)

1. есть первообразная для f(x) на [a,b]

2. первообразная для f(x) на [a,b]

Док-во (1) следует из th2 т.к f(x) – непрерывна .

Пункт (2) Первообразная действительно .

В равенстве (*) использована непрерывность: если , то , а значит и .

Так как f непрерывная функция, то отсюда следует, что .

Итак, , th-ма доказана.

Например .

Отметим, что теорема 2 доказывает фактически следующую формулу.

Т.к операция интегрирования есть обратная к диф-нию.

Кроме того доказана связь неопределенного интеграла и определенного

ледствие 2

для

Доказательство

Т.к.

Т.к.

Th 3 Основная теорема интегрального исчисления

Пусть и - первообразная на для , тогда

Формула Ньютона-Лейбница

Для обозначения разных удобно использовать так называемый знак подстановки

Доказательство

-е две переменные функции f(x) заданой на [a,b], отличаются на постоянную

Если , а другая первообразная непрерывной функции f(x), то , т.е. положим в формуле х=а, а затем х=b. Как нам известно для -й функции, принимающей конечное значение в (.) а. Поэтому

Th Для того чтобы вычислить по от , следует вычислить значение произвольной ее первообразной в (.) « » и в (.) « » и вычесть из первого значения второе

Теперь мы имеем правила вычисления от широкого класса интегрируемых функций.

Доказательство

По следствию (1) теоремы 2 - первообразная на . Т.о. - две первообразные

Пусть х=а

Т.е. (*)

Пусть в(*)

Пример

Формула

Формула Ньютона-Лейбница

С помощью символа подстановки формулу (1) запишем в виде …(2)

Формула (2) устанавливает зависимость между определённым и неопределенными интегралами функций , множество (…) разрыва которой не более чем счетно, выражаемую формулой (3)

§5 Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям

еорема 1

Пусть

1.

2.

3.

4.

Тогда (1)

Доказательство

Т.к. -первообразная на и

По теореме о замене переменной в неопределенном интеграле -первообразная для на (и на )

Отсюда (1)

Отметим, что при в доказательстве должны фигурировать соответствующие односторонние производные.

В случае, если

При некоторых t, может выходить за отрезок . Но обязательно

Пример

Этот интеграл можно вычислить и без теоремы 1

Нам известен неопределенный интеграл

(По формуле )