Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона
Лаб 2. РЕШЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL
Произведено 500 измерений боковой ошибки наводки при стрельбе с самолета по наземной цели. Результаты измерений (в тысячных долях радиана) сведены в статистический ряд:
-4;-3 | -3;-2 | -2;-1 | -1;0 | 0;1 | 1;2 | 2;3 | 3;4 | |
Требуется:
1. Вычислить относительные частоты боковой ошибки .
2. Выровнять это распределение с помощью нормального закона
3. Построить сравнительные диаграммы для функций теоретического и экспериментального распределений .
4. Построить сравнительные диаграммы для функций теоретического и экспериментального распределений .
5. Проверить согласованность теоретического и статистического законов распределения по критерию Пирсона.
Указания:
Нормальный закон зависит от двух параметров . Подберем эти параметры так, чтобы сохранить первые два момента (математическое ожидание и дисперсию статистического распределения).
1. Вычислим сначала относительные частоты боковой ошибки по формуле .
2. Вычислим приближенно статистическое среднее ошибки наводки, причем за представителя каждого разряда примем его середину.
3. Для определения дисперсии вычислим сначала второй начальный момент по формуле .
4. Вычислим приближенно дисперсию по формуле и среднеквадратичное отклонение по формуле .
Результаты расчетов сведем в таблицу.
Число опытов | |||||||||
Начало разряда | -4 | -3 | -2 | -1 | |||||
Конец разряда | -3 | -2 | -1 | ||||||
0,012 | 0,050 | 0,144 | 0,266 | 0,240 | 0,176 | 0,092 | 0,020 | ||
-3,500 | -2,500 | -1,500 | -0,500 | 0,500 | 1,500 | 2,500 | 3,500 | ||
-0,042 | -0,125 | -0,216 | -0,133 | 0,120 | 0,264 | 0,230 | 0,070 | ||
12,250 | 6,250 | 2,250 | 0,250 | 0,250 | 2,250 | 6,250 | 12,250 | ||
0,147 | 0,313 | 0,324 | 0,067 | 0,060 | 0,396 | 0,575 | 0,245 | ||
0,168 | |||||||||
2,126 | |||||||||
2,098 | |||||||||
1,448 |
Выберем параметры нормального закона так, чтобы выполнялись условия . Таким образом .
Построим теперь сравнительные диаграммы функций распределения и . Для этого вычислим значения законов теоретических и экспериментальных распределений в границах разрядов и построим таблицу:
-4 | -3 | -2 | -1 | ||||||
f*(x) | 0,012 | 0,050 | 0,144 | 0,266 | 0,240 | 0,176 | 0,092 | 0,020 | 0,000 |
F*(x) | 0,012 | 0,062 | 0,206 | 0,472 | 0,712 | 0,888 | 0,980 | 1,000 | 1,000 |
f(x) | 0,004 | 0,025 | 0,090 | 0,199 | 0,274 | 0,234 | 0,124 | 0,041 | 0,008 |
F(x) | 0,002 | 0,014 | 0,067 | 0,210 | 0,454 | 0,717 | 0,897 | 0,975 | 0,996 |
Для вычисления значений функции следует использовать встроенную функцию Excel НОРМРАСП(x;0,168;1,448;ИСТИНА), а для вычисления значений функции – НОРМРАСП(x;0,168;1,448;ЛОЖЬ).
В качестве значений функции следует выбирать частоты , так как все длины разрядов равны единице. Значения функции вычисляются по формуле .
Диаграммы с графиками этих функций должна иметь вид:
Проверим теперь правдоподобие гипотезы о виде закона распределения по критерию согласия Пирсона. Заданное статистическое распределение аппроксимировано теоретической кривой.
Между нею и статистическим распределением всегда есть определенные расхождения. Эти расхождения являются следствием либо ограниченного числа наблюдений, либо неудачным выбором вида теоретической кривой.
Для оценки согласованности теоретического и статистического распределений вводят некоторую положительную величину , характеризующую степень расхождения теории и эксперимента.
Предполагается, что закон распределения известен, а в результате серии опытов выяснилось, что приняла некоторое значение u. Очевидно чем меньше величина, u тем вероятнее гипотеза о согласованности и наоборот.
Поэтому количественной оценкой правдоподобия гипотезы служит вероятность события , а именно:
Ø если эта вероятность мала – , то гипотезу следует отвергнуть как мало правдоподобную (в этом случае вероятность события велика и расхождение u слишком велико);
Ø если эта вероятность – , следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе (в этом случае вероятность события мала и расхождение u достаточно мало);
Ø если же эта вероятность значительна – , следует признать, что экспериментальные данные очень сильно согласуются с гипотезой и следует проверить, нет ли подтасовки данных.
Пирсон показал, что мера расхождения имеет вид или . Распределение зависит от параметра r – числа степеней свободы распределения.
Число , где s число независимых условий (связей), наложенных на частоты . В нашем случае их три
Таким образом схема применения критерия Пирсона имеет вид:
1) Определяется мера расхождения .
2) Определяется число степеней свободы r = k – s
3) По r и определяется вероятность .
Если эта вероятность мала, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная. Если эта вероятность относительно велика, гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.
Проверим согласованность теоретического и статистического законов распределения:
1. Находим вероятности попадания в разряды по формуле
2.
3. Составляем сравнительную таблицу чисел попаданий в разряды и соответствующих значений .
4. Вычисляем значение меры расхождения .
5. Определяем число степеней свободы: .
6. Результаты вычислений вносим в таблицу.
Число опытов | |||||||||
Начало разряда | -4 | -3 | -2 | -1 | |||||
Конец разряда | -3 | -2 | -1 | ||||||
Число попаданий | |||||||||
0,012 | 0,053 | 0,143 | 0,244 | 0,263 | 0,180 | 0,078 | 0,021 | ||
6,171 | 26,413 | 71,387 | 121,939 | 131,698 | 89,942 | 38,828 | 10,588 | ||
0,005 | 0,076 | 0,005 | 1,003 | 1,039 | 0,042 | 1,325 | 0,033 | ||
3,527 | |||||||||
Вероятность | 0,619 | ||||||||
Гипотеза правдоподобна |
Примечания:
1. Функция – встроена в Excel под именем НОРМСТРАСП.
2. Для определения искомой вероятности следует воспользоваться встроенной функцией Excel ХИ2РАСП( ; r).
Расчет вероятности по таблице дает = 0,619. Эта вероятность малой не является; поэтому гипотезу о том, что величина распределена по нормальному закону, можно считать правдоподобной.