Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона

Лаб 2. РЕШЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL

Произведено 500 измерений боковой ошибки наводки при стрельбе с самолета по наземной цели. Результаты измерений (в тысячных долях радиана) сведены в статистический ряд:

Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru -4;-3 -3;-2 -2;-1 -1;0 0;1 1;2 2;3 3;4
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru

Требуется:

1. Вычислить относительные частоты боковой ошибки Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

2. Выровнять это распределение с помощью нормального закона Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru

3. Построить сравнительные диаграммы для функций теоретического и экспериментального распределений Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

4. Построить сравнительные диаграммы для функций теоретического и экспериментального распределений Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

5. Проверить согласованность теоретического и статистического законов распределения по критерию Пирсона.

Указания:

Нормальный закон зависит от двух параметров Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru . Подберем эти параметры так, чтобы сохранить первые два момента (математическое ожидание и дисперсию статистического распределения).

1. Вычислим сначала относительные частоты боковой ошибки по формуле Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

2. Вычислим приближенно статистическое среднее Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru ошибки наводки, причем за представителя каждого разряда примем его середину.

3. Для определения дисперсии вычислим сначала второй начальный момент по формуле Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

4. Вычислим приближенно дисперсию по формуле Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru и среднеквадратичное отклонение по формуле Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

Результаты расчетов сведем в таблицу.

Число опытов                
Начало разряда -4 -3 -2 -1
Конец разряда -3 -2 -1
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru 0,012 0,050 0,144 0,266 0,240 0,176 0,092 0,020
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru -3,500 -2,500 -1,500 -0,500 0,500 1,500 2,500 3,500
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru -0,042 -0,125 -0,216 -0,133 0,120 0,264 0,230 0,070
  12,250 6,250 2,250 0,250 0,250 2,250 6,250 12,250
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru 0,147 0,313 0,324 0,067 0,060 0,396 0,575 0,245
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru 0,168                
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru 2,126                
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru 2,098                
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru 1,448                


Выберем параметры Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru нормального закона так, чтобы выполнялись условия Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru . Таким образом Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

Построим теперь сравнительные диаграммы функций распределения Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru и Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru . Для этого вычислим значения законов теоретических и экспериментальных распределений в границах разрядов и построим таблицу:

-4 -3 -2 -1
f*(x) 0,012 0,050 0,144 0,266 0,240 0,176 0,092 0,020 0,000
F*(x) 0,012 0,062 0,206 0,472 0,712 0,888 0,980 1,000 1,000
f(x) 0,004 0,025 0,090 0,199 0,274 0,234 0,124 0,041 0,008
F(x) 0,002 0,014 0,067 0,210 0,454 0,717 0,897 0,975 0,996

Для вычисления значений функции Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru следует использовать встроенную функцию Excel НОРМРАСП(x;0,168;1,448;ИСТИНА), а для вычисления значений функции Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru – НОРМРАСП(x;0,168;1,448;ЛОЖЬ).

В качестве значений функции Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru следует выбирать частоты Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru , так как все длины разрядов равны единице. Значения функции Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru вычисляются по формуле Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

Диаграммы с графиками этих функций должна иметь вид:

Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru

Проверим теперь правдоподобие гипотезы о виде закона распределения по критерию согласия Пирсона. Заданное статистическое распределение аппроксимировано теоретической кривой.

Между нею и статистическим распределением всегда есть определенные расхождения. Эти расхождения являются следствием либо ограниченного числа наблюдений, либо неудачным выбором вида теоретической кривой.

Для оценки согласованности теоретического и статистического распределений вводят некоторую положительную величину Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru , характеризующую степень расхождения теории и эксперимента.

Предполагается, что закон распределения Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru известен, а в результате серии опытов выяснилось, что Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru приняла некоторое значение u. Очевидно чем меньше величина, u тем вероятнее гипотеза о согласованности и наоборот.

Поэтому количественной оценкой правдоподобия гипотезы служит вероятность события Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru , а именно:

Ø если эта вероятность мала – Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru , то гипотезу следует отвергнуть как мало правдоподобную (в этом случае вероятность события Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru велика и расхождение u слишком велико);

Ø если эта вероятность – Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru , следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе (в этом случае вероятность события Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru мала и расхождение u достаточно мало);

Ø если же эта вероятность значительна – Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru , следует признать, что экспериментальные данные очень сильно согласуются с гипотезой и следует проверить, нет ли подтасовки данных.

Пирсон показал, что мера расхождения имеет вид Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru или Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru . Распределение Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru зависит от параметра r – числа степеней свободы распределения.

Число Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru , где s число независимых условий (связей), наложенных на частоты Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru . В нашем случае их три

Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru

Таким образом схема применения критерия Пирсона Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru имеет вид:

1) Определяется мера расхождения Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

2) Определяется число степеней свободы r = k – s

3) По r и Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru определяется вероятность Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

Если эта вероятность мала, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная. Если эта вероятность относительно велика, гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.

Проверим согласованность теоретического и статистического законов распределения:

1. Находим вероятности попадания в разряды по формуле

2.

Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru

3. Составляем сравнительную таблицу чисел попаданий в разряды Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru и соответствующих значений Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

4. Вычисляем значение меры расхождения Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

5. Определяем число степеней свободы: Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru .

6. Результаты вычислений вносим в таблицу.

Число опытов                
Начало разряда -4 -3 -2 -1
Конец разряда -3 -2 -1
Число попаданий
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru 0,012 0,053 0,143 0,244 0,263 0,180 0,078 0,021
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru 6,171 26,413 71,387 121,939 131,698 89,942 38,828 10,588
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru 0,005 0,076 0,005 1,003 1,039 0,042 1,325 0,033
Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru 3,527                
Вероятность 0,619                
Гипотеза правдоподобна                  

Примечания:

1. Функция Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru – встроена в Excel под именем НОРМСТРАСП.

2. Для определения искомой вероятности следует воспользоваться встроенной функцией Excel ХИ2РАСП( Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru ; r).

Расчет вероятности по таблице дает Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru = 0,619. Эта вероятность малой не является; поэтому гипотезу о том, что величина Проверка согласованности теоретического и статистического законов распределения с помощью критерия Пирсона - student2.ru распределена по нормальному закону, можно считать правдоподобной.

Наши рекомендации