С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы

Тема 7: Корреляционно-регрессионный анализ.

Для расчета параметров уравнения регрессии a0 и а1 2) (в основном используется линейное уравнение регрессии С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru - для парной регрессии и С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru - для множественной регресии с двумя факторными признаками) применятся метод наименьших квадратов, решая систему нормальных уравнений для парной регрессии:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru

для множественной регрессии:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ;

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ;

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ;

В уравнениях регрессии параметр а0 показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; параметр аi показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении i-ого факторного на единицу его собственного измерения.

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью средней ошибки каждого параметрааi – μa i.

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru

где σ2ост – остаточная дисперсия С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru

Сопоставляя значение параметра с его средней ошибкой, по значению С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru судят о значимости данного параметра. Если число наблюдений п>20, то параметр считается значимым при t>3. Если п<20, то обращаются к специальным таблицам значений t-критерия Стьюдента (см. Приложение 5). И в данном случае параметр считается значимым при С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru (a; v=n-k-1), где a - уровень значимости, v=n-k-1 – число степеней свободы, k – число факторных признаков в уравнении.

где σ2y - дисперсия результативного признака;

Адекватность полученной модели можно оценить с помощью средней ошибки аппроксимации: С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru . Ее значение не должно превышать 12 – 15%, в противном случае модель считается неадекватной.

Пример.

Имеются следующие данные по 8 заводам о стоимости основных фондов, х (млн.руб.) и суточная выработка продукции у (тыс.т.):

х 3,0 3,3 3,5 3,7 3,7 4,5 4,5 4,9
у 9,1 10,2 10,0 10,5 10,3 12,9 12,8 13,1

Найти уравнение регрессии у по х; оценить адекватность модели с помощью средней ошибки аппроксимации; измерить тесноту зависимости между х и у с помощью коэффициента Фихнера, корреляционного отношения, коэффициента детерминации, линейного коэффициента корреляции, коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла.

Решение:

Найдем уравнение регрессии, использовав уравнение прямой: С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru .

Параметры С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru и С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru можно определить при помощи системы нормальных уравнений, полученной по методу наименьших квадратов:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru

Промежуточные расчеты показателей представлены в таблице:

х у С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ху С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С/Н С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru
1 3,0 9,1 9,00 82,81 27,3 9,08 0,02 0,002 -2,0 -0,9 С 4,00 0,00
2 3,3 10,2 10,89 104,04 33,66 9,77 0,43 0,044 -0,9 -0,6 С 0,81 0,18
3 3,5 10,0 12,25 100,00 35,00 10,23 -0,23 0,022 -1,1 -0,4 С 1,21 0,05
4 3,7 10,5 13,69 110,25 38,85 10,68 -0,18 0,017 -0,6 -0,2 С 0,36 0,03
5 3,7 10,3 13,69 106,09 38,11 10,68 -0,38 0,036 -0,8 -0,2 С 0,64 0,14
6 4,5 12,9 20,25 166,41 58,05 12,52 0,38 0,030 1,8 0,6 С 3,24 0,14
7 4,5 12,8 20,25 163,84 57,60 12,52 0,28 0,022 1,7 0,6 С 2,89 0,08
8 4,9 13,1 24,01 171,61 64,19 13,43 -0,33 0,025 2,0 1,0 С 4,00 0,11
С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru 31,1 88,9 124,03 1005,05 352,76 88,9 - 0,198 - - - 17,15 0,73

Подставив полученные значения в систему уравнений, получим:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru

Решив систему уравнений, получим, что С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru и С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru , следовательно уравнение регрессии примет вид: С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru .

Проверим полученное уравнение связи на адекватность при помощи средней ошибки аппроксимации: С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru (промежуточные расчеты смотри в таблице выше).

Так как полученная средняя ошибка аппроксимации С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru , то модель можно считать адекватной, т.е. уравнение связи подобрано удачно.

Оценка тесноты связи измеряется различными способами:

· с помощью коэффициента Фихнера, основанного на количестве совпадений и несовпадений знаков отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от их средних значений:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ,

где С – количество совпадений; Н – количество несовпадений.

· при линейной зависимости - с помощью линейного коэффициента корреляции.

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru или С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru .

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до 1: - 1 < r < 1.

· при криволинейной зависимости измеряется с помощью эмпирического корреляционного отношения.

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru

где С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru - дисперсия результативного признака;

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru - факторная дисперсия.

· Коэффициент детерминации, определяемый по формуле: η2 = δ2 / σ2, т.е. корреляционное отношение в квадрате характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную изменчивостью изучаемого фактора.

· Для множественной регрессии тесноту связи можно оценить с помощью множественного коэффициента корреляции R.Если находится зависимость результативного признака только от двух факторных, то множественный коэффициент корреляции можно найти по формуле:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru

где С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru - парные коэффициенты корреляции (тождественны линейному коэффициенту корреляции).

Наличие мультиколлинеарности признается, если парный коэффициент корреляции между факторными признаками С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru > 0,8.

Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции. Для их вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным.

a b a + b
c d c + d
a + c b + d a + b + c + d

Коэффициенты вычисляются по формулам:

ассоциации: С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ;

контингенции: С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru .

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если Ка > 0.5 или Кk > 0.3.

Когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова, которые вычисляются по следующим формулам:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ,

где j2 – показатель взаимной сопряженности;

j2 – определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки минус 1:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ,

где К1 – число значений (групп) первого признака;

К2 – число значений (групп) второго признака;

пх , пу - итоги по строкам и столбцам соответственно;

пху - значения признаков в ячейках таблицы.

Также коэффициенты Пирсона и Чупрова могут рассчитываться с использованием величины С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru , где n – число наблюдений.

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ; С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ,

Чем ближе величины КП и КЧ к 1, тем связь теснее.

Ранговые коэффициенты корреляции.

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле (для случая, когда нет связных рангов):

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ,

где С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru - квадраты разности рангов;

n – число наблюдений (число пар рангов).

При наличии связанных рангов расчеты производятся по следующим формулам:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru

где С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru , tj – количество связных рангов.

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла (τ) рассчитывается по формуле

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ,

где n – число наблюдений; S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1) значения х ранжируются в порядке возрастания или убывания, переставляются в том же порядке;

2) значения у располагаются в порядке, соответствующем значениям х;

3) для каждого ранга у определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяют величину Р как меру соответствия последовательностей рангов по х и у. Она учитывается со знаком «плюс»;

4) для каждого ранга у определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком «минус»;

5) определяется сумма баллов по всем членам ряда.

Если в изучаемой совокупности есть связанные ранги, то расчеты необходимо проводить по следующей формуле:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ,

где С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru .

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) W, который вычисляется по формуле:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru ,

где m – количество факторов; n – число наблюдений;

S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

В случае наличия связанных рангов коэффициент конкордации определяется по формуле:

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru , где С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru .

В большинстве случаев теснота связи может быть оценена по шкале тесноты связи:

Шкала тесноты связи

Значение коэффициентов корреляции Характер связи
С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru Связь практически отсутствует
С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru Слабая связь
С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru Умеренная связь
С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru Сильная связь

Задача 88.

Имеются следующие данные по 8 заводам о стоимости основных производственных фондов, х (млн. руб.) и суточная выработка продукции у (тыс. т.):

х 3,0 3,3 3,5 3,7 3,7 4,5 4,5 4,9
у 9,1 10,2 10,0 10,5 10,3 12,9 12,8 13,1

Необходимо выполнить:

1) Найти уравнение регрессии у по х;

2) определить значимость его параметров; оценить адекватность модели с помощью средней ошибки аппроксимации;

3) измерить тесноту зависимости между х и у с помощью коэффициента Фихнера, теоретического корреляционного отношения, линейного коэффициента корреляции, коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла.

4) Найти коэффициент эластичности; сделать выводы.

Задача 89.

За отчетный период имеются следующие данные о розничном товарообороте и издержках обращения по магазинам:

Магазин, № п/п Объем розничного товарооборота, млн. руб. Издержки обращения, млн. руб.
20,1 1,62
59,1 3,74
82,5 4,66
47,1 3,90
24,5 1,51
39,0 2,70
51,1 3,09
40,6 2,96
64,2 4,47
42,5 3,72

С помощью коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла измерить тесноту связи между данными признаками.

Задача 90.

Имеются данные по 10 хозяйствам о количестве внесенных минеральных удобрений под зерновыми, х (кг/га) и об урожайности зерновых у (ц/га).

х
у 13,5 14,0 14,0 14,3 14,0 15,0 18,2 15,0 17,0 20,0

С помощью коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла измерить тесноту связи между х и у.

Задача 91.

На основе опроса 400 работников коммерческих структур и 400 работников бюджетных организаций получено следующее их распределение по ответам на вопрос, довольны ли они своей заработной платой:

Работающие Довольные з/п Недовольные з/п Итого
В коммерческих структурах
В бюджетных организациях
Итого работников

С помощью критерия Пирсона c2 определить, случайно или нет данное распределение. Рассчитать коэффициенты ассоциации и контингенции.

Задача 92.

Имеются следующие данные о распределении 200 молочных ферм области по производительности труда и себестоимости молока:

Производительность   себестоимость Высокая Средняя Низкая Итого
Высокая
Средняя
Низкая
Итого

С помощью критерия c2 С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы - student2.ru проверить, случайно ли данное распределение, т.е. существует ли зависимость между производительностью труда и себестоимостью молока.

Измерить тесноту зависимости между показателями с помощью критериев взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.

Задача 93.

Распределение основных категорий потенциальных мигрантов по уровню образования представлено в таблице:

образование Основные категории потенциальных мигрантов Итого
Руководители Специалисты Служащие Рабочие
Высшее
Неполное высшее
Среднее специальное
Среднее общее
Неполное среднее
итого

С помощью χ2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы.

Наши рекомендации