Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок

Выборочные характеристики

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.

Выборочным средним Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru признака выборки объема n различны, то:

Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru .

Если значения признака Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru имеют частоты Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru соответственно, причем Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru , то:

Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru .

Для охарактеризования рассеяния наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг среднего значения Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru вводится выборочная дисперсия. Выборочной дисперсией Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru . Если все значения Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru признака выборки объема n различны, то:

Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru .

Если значения признака Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru имеют частоты Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru соответственно, причем Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru , то:

Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru .

Аналогично выборочным среднему и дисперсии определяются генеральные среднее и дисперсия, характеризующие генеральную совокупность в целом. Для расчета этих характеристик достаточно в вышеприведенных соотношениях заменить объем выборки n на объем генеральной совокупности N.

Фундаментальное значение для практики имеет нахождение среднего и дисперсии признака генеральной совокупности по соответствующим известным выборочным параметрам. Можно показать, что выборочное среднее является несмещенной состоятельной оценкой генерального среднего. В то же время, несмещенной состоятельной оценкой генеральной дисперсии оказывается не выборочная дисперсия Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru , а так называемая «исправленная» выборочная дисперсия, равная Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru .

Таким образом, в качестве оценок генерального среднего и дисперсии в математической статистике принимают выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию.

Средним квадратичным отклонением является Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru .

Коэффициентом вариации наз. Процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru .

Начальный момент к-го порядка Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru

Центральный момент к-го порядка Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru

Мода- варианта,имеющая наибольшую частоту

Медиана- это значение признака, находящегося в середине ряда.Для нахождения медианы в дискретном ряде первоначальную сумму частот делят пополам и к полученному результату добавляют 0,5.

Статистическое оценивание

Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок

Пусть требуется изучить некоторый количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак и необходимо оценить параметры, которыми оно определяется. Например, если изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то нужно оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение; если признак имеет распределение Пуассона – то необходимо оценить параметр l.

Обычно имеются лишь данные выборки, например значения количественного признака Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru , полученные в результате n независимых наблюдений. Рассматривая Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru как независимые случайные величины Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая дает приближенное значение оцениваемого параметра. Например, для оценки математического ожидания нормального распределения роль функции выполняет среднее арифметическое:

Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru

Для того чтобы статистические оценки давали корректные приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять некоторым требованиям, среди которых важнейшими являются требования несмещенности и состоятельности оценки.

Пусть Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru – статистическая оценка неизвестного параметра Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru теоретического распределения. Пусть по выборке объема n найдена оценка Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru . Повторим опыт, т.е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным получим другую оценку Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru . Повторяя опыт многократно, получим различные числа Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru . Оценку Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru можно рассматривать, как случайную величину, а числа Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru – как ее возможные значения.

Если оценка Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru дает приближенное значение Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru с избытком, т.е. каждое число Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru больше истинного значения Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru то, как следствие, математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru больше, чем Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru :

Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru .

Аналогично, если Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru дает оценку с недостатком, то Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru .

Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам. Если, напротив, Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru , то это гарантирует от систематических ошибок.

Несмещенной называют статистическую оценку Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru при любом объеме выборки Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru .

Смещенной называют оценку, не удовлетворяющую этому условию.

Несмещенность оценки еще не гарантирует получения хорошего приближения для оцениваемого параметра, так как возможные значения Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т.е. дисперсия Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка, например Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru , может оказаться значительно удаленной от среднего значения Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок - student2.ru , а значит, и от самого оцениваемого параметра.

Эффективной называют статистическую оценку, которая, при заданном объеме выборки n, имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при n®¥ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при n®¥ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Наши рекомендации