Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации

Jules Dupuit

Существенный вклад в развитие теории напорного и безнапорного движения грунтовых вод внес (Boussinesq) Жозеф Валантен Буссинеск (1842-1929 гг.) и Филипп Форхгеймер (1852-1933 гг.).

Ч. Слихтер (1864—1946 гг.), работавший в США, внес значительный вклад в развитие теории фильтрации. Им впервые предложены модели идеального и фиктивного грунта и показано, что пористость и просветность фиктивного грунта зависят не от диаметра частиц, а лишь от плотно­сти их укладки.

Основоположниками отечественной школы теории фильтрации яв­ляются профессор Н.Е. Жуковский, академики Н.Н. Павловский, JI.C. Лей- бензон. Исследования этих выдающихся ученых, их многочисленных учеников и последователей стали фундаментальной основой развития тео­рии фильтрации в нашей стране.

Н.Е. Жуковский (1847-1921 гг.) в 1889 г. опубликовал первую работу по теории фильтрации «Теоретическое исследование о движении подпоч­венных вод». Им впервые выведены общие дифференциальные уравнения теории фильтрации, показано, что напор как функция координат удовлетво­ряет уравнению Лапласа, указано на математическую аналогию теплопро­водности и фильтрации. Им исследованы также вопросы капиллярного под­нятия воды в пористой среде, решен ряд задач о притоке воды к скважинам.

Н.Н. Павловскому (1884-1937 гг.) принадлежит определяющая роль в развитии теории фильтрации в гидротехническом направлении. В опуб­ликованной монографии «Теория движения грунтовых вод под гидротех­ническими сооружениями и ее основные приложения» изложена разрабо­танная им строгая математическая теория движения фунтовых вод под гидротехническими сооружениями. Им впервые многие задачи фильтра­ции воды были сформулированы как краевые задачи математической фи­зики. Н.Н. Павловский впервые обосновал и предложил применение мето­да электрогидродинамической аналогии (ЭГДА) для решения фильтраци­онных задач, что в последующем нашло широкое применение для решения задач фильтрации воды, нефти и газа в неоднородных коллекторах.

Н.Н. Павловский впервые предложил использовать параметр Рей- нольдса в качестве критерия существования закона Дарси, что имеет важ­ное значение для исследования законов сопротивления при фильтрации. Фундаментальные результаты в развитии теории движения грунтовых вод получены академиком П.Я. Полубариновой-Кочиной.

Пелаге́я Я́ковлевна Ко́чина (урожд. Полуба́ринова; 1899 — 1999) — советский физик-гидродинамик, академик АН СССР.

Леонид Самуилович Лейбензо́н (1879—1951) — русский и советский учёный-механик основатель советской школы уче­ных и специалистов, специалист в области гидродинамики, теории упругости, теории фильтрации газа и нефти.

Теоретические и экспериментальные исследования Л.С. Лейбензона начались в 1921 г. в Баку. Ему принадлежит приоритет в постановке и ре­шении ряда задач нефтегазовой и подземной гидромеханики. Им проведе­ны первые исследования по фильтрации газированных жидкостей, сфор­мулированы задачи нестационарной фильтрации при расчетах стягивания контуров нефтеносности при вытеснении нефти водой, получены фунда­ментальные результаты в развитии теории фильтрации природного газа.

Трудами учеников и последователей академика Л.С. Лейбензона сложилась школа, которая по праву называется школой Л.С. Лейбензона.

Выдающийся вклад в развитие теории фильтрации в нефтегазоводоносных пластах внесли академик С.А. Христианович, профессоры Б.Б. Лапук, Исаак

Абрамович Чарный, В.Н. Щелкачев и К.С Басниев. Написанные ими монографии и учебники стали классическими и основополагающими.

§ 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ

На различных этапах строительства скважины возникает необходимость в решении задач, связанных с оттоком жидкости из скважины и притоком ее в скважину из пласта. Здесь основное значение имеют закономерности движения жидкости в пласте, основанные на решении соответствующих граничных задач теории фильтрации.

Фильтрация - это движение жидкостей, газов и их смесей под действием перепада давления в твердом проницаемом теле, пронизанном системой сообщающихся между собой пустот (поры, трещины).

Нефть и природные газы заключены в недрах Земли. Их скопления связаны с вмещающими горными породами (пластами) - пористыми и проницаемыми образованиями, имеющими непроницаемые кровлю и по­дошву. Горные породы, которые могут служить вместилищами нефти и га­за и отдавать их при разработке, называются коллекторами. В свою оче­редь, коллекторы называют пористыми или трещиноватыми в зависимости от геометрии пустот.

Природные жидкости (нефть, газ, подземные воды и их смеси) нахо­дятся в пустотах (порах и трещинах) коллекторов. Часто находящиеся в пустотном пространстве пласта природные жидкости обозначают общим термином флюид,подразумевая под ним любую из них. Флюид, находя­щийся в коллекторе, может находиться в состоянии покоя или двигаться. Движение флюидов через твердые (вообще говоря, деформируемые) трещиноватые или пористые среды называется фильтрацией. Фильт­рация может быть обусловлена воздействием различных сил: градиентом давления, концентрации, температуры, капиллярными, электромолекуляр­ными и другими силами. Например, движение (фильтрация) расплавленно­го жира в фитиле свечи или керосина в фитиле керосиновой лампы обу­словлено капиллярными силами. Однако в дальнейшем будем рассмотривать течения, вызываемые действием градиента давления или силы тяжести.

Поровое пространство осадочных горных пород - сложная система сообщающихся меж­зернистых пустот, в которой трудно выделить отдельные поровые каналы (рис. 1.1). Размеры пор, например, в песчаных породах составляют обычно единицы или десятки микрометров (мкм). Движение флюидов в пласте происходит с очень малыми скоростями, порядка мик­рометров в секунду (в гидромеханике дви­жения со столь малыми скоростями часто называются ползущими).

Рис. 3.1. Шлиф нефтяно­го песчаника

Поэтому процесс фильтрации с высокой степенью точности можно очень часто считать изотермическим. И в то же время при фильтрации в горных породах возникает значительная сила трения. При движении флюидов в пустотном пространстве коллекто­ра соприкосновение между твердым скелетом и жидкостью происходит по огромной поверхности. Например, в 1м³ пористой среды (песчаника) площадь поверхности пустотного пространства может достигать порядка 10⁴ м². Поэтому основным свойством флюида, которое влияет на фильтра­цию, является вязкость. В связи с этим обстоятельством вязкость учитыва­ется даже при фильтрации газа, а так как сила трения распределена по все­му объему коллектора, то Н.Е. Жуковский предложил при описании фильтрации силу трения считать массовой силой.

Строение нефтяных и газовых залежей осложняется значительной неоднородностью и анизотропией свойств пород, их слоистостью, наличи­ем тектонических и стратиграфических нарушений (разрывов сплошности породы). Разведка месторождений, исследование пластов, извлечение неф­ти и газа осуществляется через отдельные скважины диаметром 10-20 см, отстоящие друг от друга до сотни метров.

Объектом изучения в теории фильтрации является движущаяся жидкость (газ, смесь), а скелет тела – средой, в которой это движение происходит.

Основная характеристика фильтрационного движения – вектор скорости фильтрации

,

(2.28)

где – компоненты скорости фильтрации; – расход жидкости через элементарные площадки , проходящие через некоторую точку среды перпендикулярно к соответствующим координатным осям. Если через точку проведена произвольно ориентированная площадка , то проекция вектора на нормаль к площадке равна

,

(2.29)

где – направляющие косинусы нормали ; – расход жидкости через площадку .

Подчеркнем, что расходы в формулах (2.28) и (2.29) делятся на полную площадь , а не на ее часть, занятую жидкостью. Поэтому величина скорости фильтрации не равна истинной скорости движения жидкости , они связаны соотношением

,

где – активная, или динамическая, пористость; и – соответственно элементарный объем среды и ее части, занятых подвижной жидкостью.

Горные породы, слагающие проницаемые пласты, характеризуются, как правило, сложной структурой флюидосодержащего пространства. Помимо пор они могут обладать развитой системой микро- и макротрещин. В зависимости от степени влияния трещин на фильтрацию жидкости принято различать пористые, трещиноватые и трещиновато-пористые породы.

Каждая из этих пород описывается некоторым конечным набором осредненных геометрических характеристик. Важнейшими из них являются пористость и, аналогично, трещинная пористость .

Для пористых пород зависит от формы, размеров и взаимного расположения твердых частиц. Из чисто геометрического рассмотрения фиктивного грунта, состоящего из одинаковых шарообразных частиц, Слихтер установил, что не зависит от их диаметра, а зависит только от их упаковки. Эта теоретическая пористость укладывается в диапазоне 0,26 – 0,47. Диапазон изменения пористости реальных тел намного шире.

Наряду с пористостью для описания пористого тела используют: просветность , эффективные диаметры частиц и пор . Просветностью называется отношение площади пор ко всей площади сечения, проведенную через данную точку тела. Диапазон изменения теоретической просветности, по Слихтеру, равен 0,093 – 0,214. Параметры и определяются по анализу фракционного состава частиц или микроструктуры пор и их кривых распределения.

Основными геометрическими параметрами трещиноватости являются: раскрытие трещин– расстояние между стенками;

объемная плотность трещиноватости – отношение площади поверхности всех трещин в некотором элементарном объеме к величине этого объема; поверхностная плотность трещиноватости – отношение суммы длин следов трещин, выходящих на элементарную площадку, к величине площади последней;

густота трещин - отношение количества трещин, секущих нормаль плоскостей, к элементу длины этой нормали;

ориентация трещин - в пространстве.

Пористые и трещиноватые породы с хаотичным, бессистемным распределением пор или трещин характеризуются изотропией фильтрационных свойств, в то время как породы с упорядоченной системой (большинство трещинных коллекторов) обладают ярко выраженной анизотропией.

Особенностью фильтрации в трещиновато-пористых породах является то, что закономерности фильтрации в порах и трещинах могут существенно отличаться.

Все это находит отражение в основном соотношении теории фильтрации – законе фильтрации, который устанавливает связь между вектором скорости и полем давления .

Существуют по крайней мере три основных фактора, которые влияют на характер (линейный, нелинейный) закона фильтрации: режим фильтрации (ламинарный, турбулентный), реологические свойства (ньютоновская, неньютоновская) и однородность жидкости.

Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.

1. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей в изотропной среде

Для этой модели справедлив экспериментально установленный линейный закон фильтрации Дарси

,

(2.30)

Или в проекциях на оси декартовой системы координат

,

где называется коэффициентом проницаемости, или просто проницаемостью.

Проницаемость имеет размерность площади. Она не зависит от свойств жидкости, является чисто геометрической характеристикой пористой среды.

В практике принято проницаемость измерять в мкм². Среда имеет проницаемость 1 мкм² если при градиенте давления 10 МПа/м через площадку 10^{-4 м2} расход жидкости, вязкость которой 10^-3 Па^.с, составляет 10^-6 м³/с, т. е. 1мкм² = 10^{-12 м2}.

Проницаемость определяется геометрией порового пространства. Известно множество попыток установить аналитическую зависимость между проницаемостью, пористостью, размером, формой и упаковкой частиц.

Для фиктивного грунта Слихтер нашел, что теоретическая проницаемость

,

а Козени получил

.

Эти формулы полезны при изучении закономерностей фильтрации только в искусственных пористых телах. Для реальных тел достоверные результаты можно получить лишь по данным измерений расхода и перепада давления в лабораторных условиях на керновом материале или при натуральных испытаниях пластов с последующей интерпретацией полученных результатов.

Закон фильтрации (2.30) – это упрощенная форма уравнений движения

,

неразрывности движения или сохранения массы

,

и механического состояния

,

в которых отброшены силы инерции , а сумма сил заменена силами трения Ньютона . Тогда отпадает надобность в уравнениях состояния (2.24).

Имеем симметричный девиатор напряжений

Принимается, что при небольших изменениях порового давления пористость и проницаемость среды, а также плотность жидкости линейно зависят от , т. е.

(2.31)

где , и – соответственно пористость, проницаемость и плотность при начальном давлении ; и – соответственно модули объемной упругости скелета и жидкости. Кроме того, принимаем, что .

К уравнениям (2.30 и (2.31) необходимо присоединить еще уравнение неразрывности движения жидкости (2.22), которое в силу неполного, равного , заполнения элементарного объема сплошной среды принимает вид

.

(2.32)

Уравнения (2.30) – (2.32) образуют, таким образом, замкнутую систему для определения функций , , и . Но если подставить уравнения (2.30) и (2.31) в (2.32) и учесть, что в реальных ситуациях величины и много меньше единицы, то отбросив малые величины высших порядков, получим одно основное

классическое уравнение теории фильтрации:

,

(2.33)

где – коэффициент пьезопроводности среды; – приведенный модуль объемной упругости среды; – оператор Лапласа. Пьезопроводность имеет размерность м²/с.

Если , то уравнение (2.33) описывает нестационарное поле давления при упругом режиме фильтрации. При имеем уравнение Лапласа

,

(2.34)

которое характеризует неупругий (жесткий) режим фильтрации и, следовательно, стационарное поле давления. Это же уравнение имеет место при , т. е. при установившемся режиме фильтрации.

Для однозначного определения поля давления в заданной области , ограниченной поверхностью , необходимо и достаточно, чтобы решение уравнения (2.33) удовлетворяло начальному условию (при )

при

(2.35)

и при граничным условиям:

если на поверхности (или ее части) задано давление , то

при ,

(2.36)

если задана нормальная составляющая скорости фильтрации, то

,

(2.37)

если поверхность покрыта тонкой слабопроницаемой перемычкой (например, глинистая корка на стенке скважины), то

,

(2.38)

где – характерный линейный размер; – коэффициент поверхностного фильтрационного сопротивления, получивший название параметр «скин-эффекта».

Ясно, что для уравнения (2.34) начальное условие (2.35) смысла не имеет, а граничные условия вида (2.36) – (2.38) сохраняются.

2. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей для анизотропной среды.

Проницаемость зависит от направления - имеет место обобщенный закон Дарси

,

(2.39)

где – тензор проницаемости.

Если воспользоваться системой координат, оси которой совпадают с главными осями тензора , то уравнение (2.39) в проекциях на оси декартовой системы координат перепишется в виде

,

(2.40)

где – проницаемости вдоль главных осей анизотропии. При этом проекция скорости фильтрации на нормаль к элементарной площадке вычисляется по формуле

.

(2.41)

Подставляя (2.40) в (2.32) получим уравнение при установившейся фильтрации

.

(2.42)

Учитывая (2.41), усложняются и граничные условия вида (2.37) и (2.38).

Однако граничную задачу, связанную с уравнением (2.42), легко свести к граничной задаче, связанной с уравнением Лапласа (2.34), если вести следующую замену переменных:

для пространства

для плоскости

(2.43)

где – новые координаты.

Это означает геометрическое преобразование анизотропной области в некоторую изотропную область , проницаемость которой

(2.44)

При этом граница области преобразуется в границу области . Например, область, ограниченная окружностью

,

(2.45)

преобразуется согласно (2.42) в область, ограниченную эллипсом

.

(2.46)

или в параметрическом виде

.

где , - полуоси элипса

Для области имеем уравнение Лапласа

,

решение которого должно удовлетворять заданному граничному условию на окружности (2.45) для соответствующих точек эллипса (2.46).

3.Закономерности фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах для однородной и изотропной среды.

Горная порода рассматривается как сплошная, в любой точке которой имеют место двойная пористость , проницаемость , скорость фильтрации и давление , связанные законом Дарси

(2.47)

и уравнениями неразрывности

(2.48)

где индексами 1 и 2 обозначены величины, характеризующие соответственно систему трещин и пор;

.

(2.49)

– интенсивность перетока жидкости между этими системами; – новая безразмерная величина, характеризующая данную среду.

При этом пористости и являются функциями обоих давлений, т.е.

.

(2.50)

Однако во многих случаях систему уравнений (2.47) – (2.48) можно упростить, если исходить из следующих условий:

а) объем, занимаемый трещинами, много меньше объема пор, т.е. допустимо принять ;

б) изменение пористости происходит в основном за счет изменения порового давления и поэтому при небольших изменениях этого давления

;

(2.51)

в) проницаемость , т.е. фильтрацией в порах можно пренебречь ;

г) жидкость слабосжимаема так что

,

(2.52)

где или в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в порах;

д) вязкость жидкости .

Физическая сущность перечисленных допущений состоит в том, что в системе трещины – поры рассматривается фильтрация жидкости по трещинам в условиях интенсивного массобмена с жидкостью, находящейся в упругом деформированном поровом пространстве.

В результате принятых упрощений уравнения (2.48) примут вид

.

Подставляя сюда соотношения (2.47), (2.49), (2.51), (2.52) и отбрасывая малые величины высших порядков, получим

,

(2.53)

где – специфическая характеристика трещиновато-пористой среды; – своеобразная пьезопроводность среды.

Параметр имеет размерность площади, и для реальных пород его порядок может изменяться в широких пределах – от 10^-1 до 10⁶ м².

Легко заметить, что путем исключения одного из давлений система уравнений (2.53) сводится к одному уравнению

,

(2.54)

где – параметр, называемый временем запаздывания.

Это уравнение отличается от классического уравнения (2.33) слагаемым, содержащим параметр . В пределе, когда , среда с двойной пористостью переходит в чисто пористую и уравнения (2.54) и (2.33) совпадают.

При жестком режиме фильтрации или при установившейся фильтрации уравнение (2.54) обращается в уравнение Лапласа (2.34).

Следовательно, ставить задачу о фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде имеет смысл при .

Начальное и граничные условия, которые необходимо присоединить к уравнению (2.54), обладают некоторой особенностью. Прежде всего ясно, что граничную задачу, связанную с уравнением (2.54) следует рассматривать относительно одного из давлений – или .

Если начальные условия и удовлетворяют первому уравнению (2.53), то задачу целесообразно решать относительно давления , принимая начальные и граничные условия в виде выражений (2.35) – (2.38). После определения давления вычисляют поровое давление .

В противном случае задачу следует решать относительно давления . Но здесь имеет место определенная специфика в задании граничных условий.

Если начальное распределение давления согласовано с граничными условиями вида

,

(2.55)

при , то в таком виде граничная задача и рассматривается.

Но если же согласования нет, то к правым частям соответствующих граничных условий необходимо прибавить слагаемое , где – невязка существующего граничного условия:

(2.56)

Это свидетельствует о том, что заданный скачок граничных условий в порах трещиновато-пористой среды не уничтожается мгновенно, как в обычной пористой среде, а убывает по закону . Такое качественное отличие – результат принятого упрощения пренебрежения фильтрацией жидкости в порах, где давление изменяется только благодаря массообмену с жидкостью в трещинах. Аналогично, предположение о жестком характере фильтрации жидкости в трещинах приводит к указанной выше проверке начальных распределений давлений и .

После решения граничной задачи относительно порового давления распределение давления в трещинах определяется по формуле (2.53)

а скорости фильтрации относительно какой–либо поверхности – по формуле

(2.55)

4. Приизучении фильтрации газа основное значение имеет его высокая сжимаемость, которая на несколько порядков выше сжимаемости пористой среды.

Поэтому в уравнении неразрывности (2.32) пренебрегают изменением пористости во времени и представляют это уравнение в виде

.

(2.57)

К этому уравнению необходимо присоединить уравнение состояния газа

и закон фильтрации, который при небольшой скорости фильтрации имеет вид закона Дарси

(2.58)

где в общем случае ; - температура.

В простейшем случае газ можно считать термодинамически идеальным, находящемся при постоянной температуре с вязкостью µ=const и плотностью

,

(2.59)

где - постоянные величины.

Подстановка (2.58) и (2.59) в (2.57) дает основное нелинейное уравнение теории фильтрации газа

,

(2.60)

которое впервые было получено Л. С. Лейбензоном в 1930г.

Наиболее известный приближенный метод решения этого уравнения основан на линеаризации, по Л. С. Лейбензону, который состоит в том, что левую часть уравнения умножают на , а правую – на некоторое характерное давление , например давление в невозмущенной части пласта.

Тогда вместо (2.60) необходимо решить линейное уравнение

,

(2.61)

которое аналогично уравнению (2.33), где . Следовательно, все соотношения, полученные до сих пор для жидкости, могут быть в первом приближении использованы и при изучении фильтрации газа, если заменить в них на , на .

Лекция 4. 5. Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости (2.58) нарушается и зависимость между и принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.

Рис. 11.Возможные виды нелинейного закона фильтрации

Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:

а) высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);

б) ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);

в) малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).

Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации

,

(2.62)

а кривая 2 – законом фильтрыции с предельным градиентом