Согласованность sph-метода
Снежинский физико-технический институт
филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
(СФТИ НИЯУ МИФИ)
Кафедра Прикладных физики и математики
Курсовая работа
по курсу «Вычислительная гидродинамика»
Тема:
Исследование неустойчивостей Кельвина-Гельмгольца методом сглаженных частиц SPH-Годунова
Группа: ПМ-57Д
Студент: А.Н. Бодриков
Научн. руководитель: зав. кафедрой ПФМ, доктор ф.-м. наук, профессор А.Д. Зубов
Снежинск, 2012
Исследование неустойчивостей Кельвина-Гельмгольца методом сглаженных частиц SPH-Годунова
Kelvin-Helmholtz instabilities with Godunov SPH
Seung-Hoon Cha1, Shu-ichiro Inutsuka2 and Sergei Nayakshin1
1Department of Physics & Astronomy, University of Leicester, Leicester, LE1 7RH, UK
2Department of Physics, Nagoya University, Nagoya, 463-8602, Japan
АННОТАЦИЯ
Численное моделирование нелинейного развития неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в двух слоях различной плотности проведено методом частиц (метод сглаженных частиц Годунова, GSPH), разработанным Inutsuka (2002). GSPH можно описать неустойчивость Кельвина-Гельмгольца даже с большим различием в плотности, в то время как стандартный SPH-метод демонстрирует отсутствие неустойчивости по градиенту плотности (Agertz и др., 2007). Также проведено изучение взаимодействия плотного пузыря с горячей средой. GSPH описывает образование и развитие пальцевидных структур в результате комбинации неустойчивостей Рэлея-Тейлора, Рихтмайера-Мешкова и Кельвина-Гельмгольца. Результаты расчета пузыря хорошо совпадают с результатами сеточных программ.
Неточный учет градиента плотности в стандартном SPH-методе указан в качестве основной причины отсутствия неустойчивостей. Нефизическая сила появляется при градиенте плотности даже при равновесии давлений, и она отталкивает частицы от первоначальной границы разрыва плотности. Таким образом, начальное возмущение гасится, и на плотностной границе образуется пустота. Нефизическая сила исследуется исходя из согласованности математической модели. В отличие от стандартного SPH-метода, уравнение импульса в GSPH не использует аппроксимацию частиц, а получается путем составления уравнений с ядром свертки или новой функции Лагранжа. Новая функция Лагранжа, используемая в GSPH, аналогична реальной функции Лагранжа для континуума. Уравнение импульса в GSPH имеет лучшую линейную согласованность, поэтому нефизическая сила существенно уменьшена по сравнению со стандартным SPH-методом при большом перепаде плотности.
Ключевые слова: гидродинамика – неустойчивости – турбулентность – методы: численный – звезды: образование – галактик: эволюция – звезда: образование
Введение
Метод SPH (метод сглаженных частиц, Gingold и Monaghan 1977, Lucy, 1977) – это полностью лагранжевый бессеточный метод, широко используемый в различных областях астрофизики (Monaghan, 1992), особенно для систем нерегулярной формы и/или самогравитирующих систем. Причиной этого является его лагранжево происхождение и наличие древовидной структуры (Barnes и Hut, 1986). Древовидная структура весьма эффективна не только при вычислении гравитации, но также при поиске соседних объектов. Таким образом, SPH-метод становится эффективным средством исследования образования звезд или галактик.
Однако Agertz и др. (2007) (далее A07) показали, что при помощи SPH-метода сложно описать неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (далее НКГ) по градиенту плотности. Они проводили моделирование НКГ по двум слоям различной плотности при помощи двух стандартных кодов SPH (GADGET2 Springel и др., 2002), GASOLINE (Wadsley и др., 2004) и пяти сеточных кодов (ART (Кравцов и др., 1997), CHARM (Miniati & Colella, 2007), ENZO-PPM (Bryan & Norman, 1997), ENZO-ZEUS (Stone & Norman, 1992), FLASH (Fryxell и др. 2000)). В результате использования стандартных кодов по градиенту плотности наблюдалось отсутствие НКГ. Однако при проведении моделирования с помощью сеточных кодов наблюдаются правильно закрученные завихрения даже при высоком контрасте плотности. Стандартный SPH-метод показывает завихрения только для случая однородной плотности. Также они провели исследование взаимодействия пузыря и горячей среды с большим числом Маха (тест пузыря). Результаты, полученные при использовании сеточных кодов, показывают, что в результате неустойчивостей Рэлея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова впереди сжатого пузыря начинают образовываться пальцевидные структуры, которые затем усиливаются НКГ. В конечном итоге пузырь разрушается. Однако коды с использованием стандартного SPH-метода показывают только сжатие пузыря. Они называют это «фундаментальной разницей» между стандартным SPH-методом и сеточными кодами. Их результаты вызовут множество проблем, поскольку НКГ играет важную роль в различных областях, где интенсивно применяется SPH-метод.
A07 обнаружили странное поведение частиц в области начального разрыва контакта между двумя слоями различной плотности. Наблюдается выравнивание частиц, а вдоль разрыва контакта образуется пустота. Об образовании пустоты или «отслаивании» слоев частиц в области градиента плотности уже сообщалось в работе (Fulk 1994), и в качестве рекомендации было предложено изменить исходную конфигурацию частиц (Monaghan, 1987; Fulk, 1994). Таким образом, в A07 проведено то же моделирование с тремя различными исходными условиями, такими как пространственная решетка, коэффициент Пуассона и стекловолокно. И хотя различные исходные условия дали различные результаты, НКГ так и не появилась при моделировании с использованием стандартного SPH-метода. Другой причиной образования пустоты может являться искусственная вязкость, поскольку искусственную вязкость в стандартном SPH-методе критикуют уже давно (Watkins и др., 1996; Cha и Whitworth, 2003b) по различным аспектам. И хотя искусственная вязкость может внести незначительное изменение в результаты, НКГ по-прежнему отсутствует, независимо от искусственной вязкости. К тому же, код ENZO-ZEUS, используемый в A07, учитывает искусственную вязкость фон Неймана-Рихтенмайера, но показывает НКГ в градиенте плотности. Таким образом, искусственная вязкость не может являться причиной образования пустот. В итоге A07 заключили, что отсутствие НКГ и образование пустот происходит в результате неточного учета гидродинамической силы по градиенту плотности.
Отсутствие НКГ в градиенте плотности является серьезной проблемой для пользователей SPH-метода, поэтому решение ее необходимо срочно найти. Price (2008), предложил ввести искусственную теплопроводность в уравнение энергии стандартного SPH-метода. По аналогии с влиянием искусственной вязкости на разрыв импульса, искусственная теплопроводность влияет на разрыв спектра тепловой энергии и меняет профиль распределения давления на непрерывный по градиенту плотности. Он показал, что новое уравнение энергии с членом, обозначающим искусственную теплопроводность, может описать НКГ по градиенту плотности. Price (2008) полагал также, что новая формула Initsuka (2002, далее I02), основой которой служит новая функция Лагранжа, правильно учтет градиент плотности.
В настоящей работе мы рассматриваем GSPH (GSPH), предложенный I02, в качестве возможного метода решения проблемынеточного учета градиента плотности. Тесты, проведенные в работах A07, были проведены снова с использованием двухмерного кода GSPH. По результатам использования GSPH влияние нефизической силы по градиенту плотности существенно снижено, а НКГ и иные неустойчивости стали видны. В частности, была смоделирована НКГ, развивающаяся в диагональном направлении, и получены удовлетворительные результаты. При тесте пузыря образовались сложные структуры вследствие комбинации неустойчивостей.
Неточный учет градиента плотности в стандартном SPH-методе был изучен с точки зрения согласованности численного метода, и результаты представлены в разделе 2. Для этой цели было рассмотрено уравнение импульса GSPH с ядром свертки, а также новая функция Лагранжа для системы частиц в разделе 3. Была изучена согласованность GSPH, и простой тест, подтверждающий учет разрыва плотности, представлен в том же разделе. Моделирование НКГ в двух слоях различной плотности и тест с пузырем представлены в разделе 4. Выводы представлены в разделе 5.
СОГЛАСОВАННОСТЬ SPH-МЕТОДА