Метод Тейлора второго порядка
При из формулы (6) получаем
где
Метод Рунге-Кутта.
Метод Рунге-Кутта имеет тот же порядок точности, что и метод Тейлора, но исключает необходимость вычисления значений частных производных от правой части дифференциального уравнения . Основная идея метода состоит в замене функции
в формуле (6) другой функцией
, не требующей вычисления частных производных от
и удовлетворяющей условию
где - константа, не зависящая от
. Таким образом, алгоритм метода Рунге-Кутта имеет вид:
где удовлетворяет условию (9). Очевидно, метод (10) имеет ту же алгоритмическую ошибку, что и метод Тейлора. Алгоритм (10) принято называть методом Рунге-Кутта порядка
.
Функцию разыскивают в виде:
где
В формулах (11) коэффициенты и
находятся из условия (9).
Метод Рунге-Кутта первого порядка.
При получаем из (11)
Сравнивая с
, немедленно получаем из условия (9), что
. Таким образом метод Рунге-Кутта первого порядка совпадает с явным методом Эйлера:
Метод Рунге-Кутта второго порядка.
При получаем из (11)
Разлагая во втором слагаемом в (12) по формуле Тейлора в точке
получаем
Подставляя (13) в (12), имеем
Сравнивая
и (14), получаем из условия (9) нелинейную систему уравнений для определения коэффициентов
:
Отсюда следует, что для различных существует целое семейство методов Рунге-Кутта второго порядка с коэффициентами
и
:
Приведем примеры алгоритмов метода Рунге-Кутта второго порядка.
Метод Хьюна (модифицированный метод трапеций).
В этом случае ,
Из (15) получаем алгоритм метода Хьюна
Модифицированный метод Эйлера.
В этом случае ,
Из (15) получаем алгоритм модифицированного метода Эйлера
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
Наиболее часто в вычислительной практике используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, алгоритм которого определяется формулами
где
Отметим, что если правая часть дифференциального уравнения не зависит от
, то формула (18) совпадает с квадратурной формулой Симпсона. (Решение задачи Коши
равносильно вычислению интеграла
).
Замечание.Метод (18) часто называют просто «методом Рунге-Кутта» без всяких указаний на порядок. Локальная алгоритмическая ошибка этого метода не превосходит , где
- константа, не зависящая от
. Однако оценить
не просто. Это существенный недостаток метода Рунге-Кутта. Грубое оценочное правило выбора шага
предложено Коллатцом: если для некоторой точки
величина
больше нескольких сотых, то шаг
уменьшают.