Упрощение уравнения линии второго порядка. Метрическая классификация линий второго порядка

Пусть в прямоугольной системе координат линия Г задана уравнением (66). Преобразуем систему координат по формулам (67), получим уравнение (68). В этом уравнении будет отсутствовать слагаемое с произведением координат тогда и только тогда, когда = 0, т.е. .

Отсюда (70)

Итак, если систему координат повернуть на угол a, определяемый по формуле (70), то в новой системе координат в уравнении линии Г не будет слагаемого с произведением координат. В этой системе координат уравнение будет иметь вид:

а₁₁х² + а₂₂у² + 2а₁₃х + 2а₂₃у + а₃₃ = 0 (71)

Возможны следующие случаи.

I. а₁₁ ¹ 0, а₂₂ ¹ 0. Выделим в правой части уравнения (17) полные квадраты.

а₁₁(х² + 2 х + ) + а₂₂(у² + 2 ) = .

Обозначим и свернём скобки.

(72)

После преобразования координат, сделанного по формулам (73), получим уравнение (74). Возможны случаи:

1) а₁₁, а₂₂ и m – числа одного знака. Разделим обе части на m и обозначим , . Уравнение (74) запишется (75). Это уравнение определяет эллипс.

2) а₁₁, а₂₂ – числа одного знака, m имеет противоположный знак. Разделим обе части уравнения (16) на (-m) и обозначим - , - . Уравнение (74) будет иметь вид (76)

Это уравнение определяет пустое множество точек. Его называют мнимым эллипсом.

3) а₁₁, а₂₂ – числа разных знаков, m ¹ 0. Пусть m и а₁₁ одного знака. Обозначим , - . Тогда уравнение (74) запишется (77)

Это уравнение определяет гиперболу.

4) а₁₁, а₂₂ – числа разных знаков, m = 0. Пусть а₁₁ > 0, а₂₂ < 0. Обозначим , . Уравнение (20) преобразуется к виду . (78) Разложив левую часть на множители, получим . Отсюда либо , либо . Эти уравнения определяют пару пересекающихся прямых.

5) а₁₁, а₂₂ – числа одного знака, m = 0. Можно считать, что а₁₁ и а₂₂ положительны. Обозначим , . Уравнение (74) перепишется (79)

Это уравнение определяет единственную точку х¹ = у¹ = 0. Говорят, что линия Г распадается на пару мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке.

II. а₁₁ = 0, а₂₂ ¹ 0. Уравнение (71) преобразуется к виду

.

Обозначим m = , получим уравнение (80)

Возможны случаи:

1) а₁₃ ¹ 0. Сделаем преобразование координат Если обозначить р = , то получим уравнение (у¹)² = 2рх. (81) Это уравнение определяет параболу.

2) а₁₃ = 0. Сделаем преобразование координат . Получим уравнение а₂₂(у¹)² = m. Возможны случаи а) а₂₂ и m одного знака. Обозначим . Получим уравнение (у¹)² = а² , а ¹ 0 (82). Это уравнение определяет пару различных действительных параллельных прямых.

б) а₂₂ и m разных знаков. Получим уравнение (у¹)² = - а² , а ¹ 0 (83)

Это уравнение определяет пустое множество точек. Линия Г называется парой мнимых параллельных прямых.

в) m = 0. Получим уравнение (у¹)² = 0. (84) Оно определяет пару совпавших прямых.

Итак, доказана

Теорема 9.Если линия второго порядка задана в прямоугольной системе координат уравнением (66), то с помощью преобразования координат её уравнение можно привести к одному из следующих девяти видов:

(эллипс); (мнимый эллипс);

(гипербола); (пара пересекающихся прямых);

( пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке);

у² = 2рх (парабола) у² = а², а ¹ 0 (пара различных

параллельных прямых);

у² = - а², а ¹ 0 (пара мнимых параллельных прямых);

у² = 0 (пара совпавших прямых).

Из теоремы 9 следует метрическая классификация линий второго порядка: существует ровно девять типов линий второго порядка.

ПОВЕРХНОСТИ

Цилиндрические поверхности

Пусть Г – линия и - ненулевой вектор, не параллельный плоскости линии Г (если Г плоская линия.

Определение 36. Цилиндрической поверхностью с направляющей Г и образующими, параллельными вектору , называется множество точек всех возможных прямых, параллельных вектору и пересекающих линию Г.

Основная задача, которую нужно решить: как найти уравнение цилиндрической поверхности, если даны уравнения линии Г и координаты вектора .

Пусть в пространстве введена АСК, и линия Г имеет уравнения (85) Обозначим цилиндрическую поверхность Ц. М Î Ц Û (М Î l, где l || и l Ç Г ¹ Æ). Обозначим l Ç Г = N. Если N(х0, у0, z0), то (*) Если М(х, у, z), то М Î Ц Û х = х0 + mt, у = у0 + nt, z = z0 + рt, где t Î R. Отсюда х0 = х - mt, у0 = у - nt, z0 = z - рt. Подставив х0, у0, z0 в равенства (*), получим уравнения Ц.

Рис. 78

(86)

Остаётся из этих уравнений исключить параметр t.

Получили следующие правила для составления уравнения цилиндрической поверхности:

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся уравнениями (85) и образующие параллельны вектору , то для составления уравнения поверхности достаточно в уравнениях (85) заменить х на х - mt, у на у - nt, z на z - рt и из полученных уравнений исключит параметр.

Пример 1.Составьте уравнение цилиндрической поверхности, если образующие параллельны вектору = {3, 2, -1} и направляющая Г имеет уравнения

Решение. Линия Г – эллипс в плоскости (ХОУ) с полуосями 3 и 2 (рис. 79). В уравнениях линии Г заменяем х на х - 3t, у на у - 2t, z на z + t. Получим Из второго уравнения t = - z. Подставим в первое уравнение. 4(х + 3z)2 + 9(у + 2z)2 = 36. Раскрыв скобки и приведя подобные, получим 4х2 + 9у2 + 72z2 + 24хz + 36уz - 36 = 0. Это уравнение данной цилиндрической поверхности.

Рис.79

Пример 2. Составьте уравнение цилиндрической поверхности, если направляющей является линия лежащая в плоскости (ХОУ), а образующие параллельны оси (ОZ).

Решение. Вектор, параллельный образующим, есть вектор . Заменяем в уравнениях направляющей х на х - 0•t, т.е. х заменяем на х. Аналогично, у заменяем на у. Но z заменяем на z - t. Получим Из второго уравнения z = t. Это значит, что z может независимо от х и у принимать все возможные действительные значения, а х и у связаны тем же уравнением f(х, у) = 0, что и в уравнении направляющей. Уравнение цилиндрической поверхности в этом случае будет f(х, у) = 0.

Следствие. Уравнения , , у² = 2рх задают цилиндрические поверхности с направляющими эллипсом, гиперболой и параболой соответственно. Их образующие параллельны оси (ОZ).

Если направляющая цилиндрической поверхности есть линия второго порядка, то поверхность называется цилиндром второго порядка.

Замечание. Обратите внимание на то, что уравнения f(х, у) = 0, f(х, z) = 0, f(у, z) = 0, задают на плоскостях (ХОУ), (ХОZ) и (УОZ) соответственно некоторые линии. Но в аффинной системе координат в пространстве они задают цилиндры с образующими, параллельными оси (ОZ), (ОУ) и (ОХ) соответственно.

Конические поверхности

Определение 37. Конической поверхностью с направляющей Г и вершиной S (S и Г не лежат в одной плоскости) называется множество точек всех возможных прямых, проходящих через S и пересекающих Г.

Коническую поверхность обозначим К. Прямые , на которых лежат все точки К, называются образующими.

Пусть в пространстве зафиксирована система аффинных координат, S(х0, у0, z0), Г: М Î К Û М лежит хотя бы на одной из образующих. Пусть М Îq. Каждая образующая пересекает линию Г. Пусть Г Ç q = N (рис. 64). Если N(х1, у1, z1), то (*) Прямая q проходит через две точки, N и S, М Î q Û х = х0 + (х1 – х0)×t, у = у0 + (у1 – у0)×t, z = z0 + (z1 - z0)×t, tÎR. И этих равенств х1 = , у1 = , .

Рис. 80

Подставив х₁, у₁, z₁ в систему (*), получим уравнения данной конической поверхности, но эти уравнения содержат параметр t. Для того, чтобы получить общее уравнение К, нужно из полученной системы исключить параметр t.

Получили следующие правила для составления уравнения конической поверхности:

Для составления уравнения поверхности К достаточно в уравнениях направляющей заменить х на , у на , z на и из полученной системы исключить параметр t.

Пример 3.Найдите уравнение конической поверхности с вершиной S(2, 2, -3), если

направляющей является эллипс , z = 0. Решение. В уравнениях эллипса заменимх на , у на , z на . Получим , = 0. Найдём из второго уравнения t, получим t = . Подставив в первое уравнение, получим

Рис.81

81х² +36у² - 272z² +108хz - 48уz - 288у - 1752 z - 2340 =0.

Замечание. Если направляющей является линия второго порядка, то полученная поверхность называется конусом второго порядка. Можно показать, что для любого конуса второго порядка можно в качестве направляющей взять эллипс, поэтому конус второго порядка называют эллиптическим конусом.

Поверхности вращения

Пусть даны линия Г и прямая р.

Определение 38.Поверхностью, полученной вращением линии Г вокруг оси р, называется множество точек всех возможных окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных р, центры которых лежат на р и которые пересекают линию Г.

Выведем уравнение поверхности вращения в том случае, когда Г и р лежат в одной плоскости (обозначим эту плоскость П). Выберем прямоугольную систему координат, направив ось (ОХ) по оси р, ось (ОУ) – в плоскости П, тогда ось (ОZ) будет перпендикулярна П.

Так как линия Г лежит в плоскости (ХОУ), то в этой плоскости она задаётся некоторым уравнением f(х, у) = 0 (*).

Пусть М(х, у, z) – произвольная точка. Тогда М Î поверхности вращения Û М Î w, где w - окружность, центр С которой лежит на оси (ОХ), её плоскость перпендикулярна оси (ОХ) и радиус равен ½NС½ (N Î Г). Тогда точка С(х, 0, 0), N(х, у1, 0), ½NС½ = ½у1½, ½МС½= . Следовательно, М Î w Û Û у1 = ± . Так как N Î Г, то f(х, у1) = 0. Подставив значение у1,

Рис. 82

получим f(х, ± ) = 0 (87). Это и есть уравнение данной поверхности вращения. Итак, получили следующее правило:

Если линия Г лежит в плоскости (ХОУ) и ось вращения совпадает с осью (ОХ), то для того, чтобы получить уравнение поверхности вращения, достаточно в уравнении линии Г координату х оставить без изменения, а у заменить на ± .

Пример 4. Написать уравнение поверхности, образованной вращением линии у = logx вокруг оси (ОУ).

Решение. Так как линия Г лежит в плоскости (ХОУ) и осью вращения является ось (ОУ) то в уравнении у = logx нужно у оставить без изменения, а х заменить на . Так как логарифм отрицательного числа не существует, то х заменяем на . Получим уравнение .

Рис.83

Эллипсоид

Определение 39. Эллипсоидомназывается множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением

(88)

Из уравнения сразу следуют такие свойства эллипсоида:

Возможны случаи:

1) -с < h < с. В этом случае система (*) определяет эллипс в плоскости z = h. Полуоси эллипса равны а и b . Наибольшие полуоси получаются при h = 0, т.е. в плоскости (ХОУ). При h ® ± с полуоси стремятся к нулю, т.е. эллипс стягивается в точку. 2) h = ± с. В каждой из этих плоскостей система (*) определяет точку, т.е. плоскости z = ± с пересекают эллипсоид в одной точке каждая (рис.84).

Рис. 84

3) h > с или h < -с. В этом случае система (*) определяет пустое множество точек, т.е. плоскости z = h при указанных h не пересекают эллипсоид.

II. При пересечении эллипсоида плоскостями, параллельными (ХОZ) и (УОZ) получим аналогичные результаты. Проведите эти исследования самостоятельно.

· -а £ х £ а, -b £ у £ b, -с £ z £ с. Следовательно, эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда, симметричного относительно координатных плоскостей, длины рёбер которого равны 2а, 2b, 2с;

· Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Исследуем форму эллипсоида.

Если поверхность задана уравнением, то исследование её формы часто бывает удобно проводить методом сечений. Для этого исследуемую поверхность пересекают различными плоскостями, проще всего координатными и параллельными координатным.

I. Пересечём эллипсоид плоскостью, параллельной (ХОУ), её уравнение z = h. Уравнения сечения будут (*)

Однополостный гиперболоид

Определение 40. Однополостным гиперболоидомназывается множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением

(89)

Из уравнения (89) следует

· , т.е. гиперболоид лежит вне эллиптического цилиндра, образующие которого параллельны оси (ОZ);

· Однополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Исследуем форму этого гиперболоида методом сечений.

I. Пересечём гиперболоид плоскостью, параллельной (ХОУ), её уравнение z = h. Уравнения сечения будут (**)

При любом h это уравнение определяет эллипс с полуосями а и b . Наименьший эллипс получается при h = 0, т.е. в плоскости (ХОУ). При возрастании ½h½ полуоси эллипсов увеличиваются и стремятся к бесконечности (рис. 85). II. При пересечении гиперболоида плоскостями у = m, параллельными плоскости (УОZ). Уравнения сечений у = m. (***) Возможны случаи: 1) -b < m < b. Сечениями будут гиперболы, действительные оси которых параллельны оси (ОХ) и полуоси имеют длину

Рис. 85

а и b . Наибольшие полуоси получаются при m = 0. При увеличении ½m½ полуоси уменьшаются и стремятся к нулю. Следовательно, ветви гиперболы сближаются.

2)½m½ = b. В этом случае . Это уравнение определяет пару пересекающихся прямых. Итак, плоскости у = b и у =-b пересекают каждая гиперболоид по паре пересекающихся прямых.

3) ½m½ > b. В этом случае уравнения (***) определяют гиперболу,действительная ось которой параллельна оси (ОZ). При увеличении ½m½ полуоси будут возрастать, следовательно, ветви гиперболы удаляются друг от друга (рис. 69).

III. При пересечении гиперболоида плоскостями х = n, параллельными плоскости (УОZ) получим результаты, аналогичные результатам предыдущего пункта (проведите это исследование сами).

Двуполостный гиперболоид

Определение 41. Двуполостным гиперболоидомназывается множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением

(90)

Из уравнения (90) следует

· , т.е. гиперболоид лежит вне полосы, ограниченной плоскостями z = ± с.

· Однополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Исследуем форму этого гиперболоида методом сечений.

I. Пересечём гиперболоид плоскостью, параллельной (ХОУ), её уравнение z = h. Уравнения

сечения (*). Как отмечено выше, плоскости z = h при -с < h < с не пересекают гиперболоид. При ½h½ > с в сечении получается эллипс с полуосями и . Эти полуоси неограниченно возрастают при увеличении ½h½. II. При пересечении гиперболоида плоскостями у = m, параллельными плоскости (ХОZ) получаются линии

Рис. 86

Эти уравнения определяют гиперболы, полуоси которых возрастают при увеличении ½m½.

III. При пересечении гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости (УОZ) получаются тоже гиперболы Исследуйте этот случай сами) (рис. 86).

Эллиптический параболоид

Определение 42. Эллиптическим параболоидомназывается множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением (91).

Из уравнения (91) следует:

· z ³ 0, т.е. параболоид лежит целиком в одной полуплоскости с границей (ХОУ), а именно в той, в которой лежит положительная полуось ОZ;

· параболоид симметричен относительно плоскостей (ХОZ), (УОZ) и оси (ОZ).

Исследуем параболоид методом сечений. Очевидно плоскости z = h могут пересекать параболоид только при h ³ 0. при этом в сечениях будут получаться эллипсы с полуосями

и , если h > 0. Эти полуоси неограниченно возрастают при увеличении h. При h = 0 в сечении будет одна точка – начало координат. Плоскости, параллельные плоскостям (ХОZ) и (УОZ), пересекают параболоид по параболам (исследуйте эти сечения самостоятельно) (рис. 87).

Рис. 87

Гиперболический параболоид

Определение43. Гиперболическим параболоидомназывается множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением (92).

Из уравнения (92) следует, что параболоид симметричен относительно плоскостей (ХОZ), (УОZ) и оси (ОZ).

Исследуем параболоид методом сечений.

I. При пересечении параболоида плоскостями z = h, параллельными плоскости (ХОУ), получаются линии (*)

При h < 0 в сечении получаются гиперболы, действительные оси которых параллельны оси (ОУ), при h > 0 -гиперболы с действительными осями, параллельными оси (ОХ). При h = 0 плоскость (ХОУ) пересекает параболоид по паре пересекающихся прямых.

II. В сечении плоскостями у = m, параллельными плоскости (ХОZ) получаются параболы у = m, оси которых параллельны оси (ОZ), ветви направлении в направлении оси (ОZ) и вершинами являются точки (0, m, ).

III. В сечении плоскостями х = n, параллельными плоскости (УОZ), получаются линии Эти уравнения определяют параболы, оси которых параллельны оси (ОZ), ветви направлении в направлении, противоположном оси (ОZ), и вершинами являются точки (n, 0, ).

Исследование методом сечений даёт следующую поверхность