Задачи для самостоятельного решения.
Алгебраические многочлены.
Многочленом степени n от переменной х называется функция вида , где числа a0 , a1 , … , an называются коэффициентами многочлена, причём a0≠0 – старший коэффициент, an – свободный член.
Если a0=1, многочлен называется приведённым.
Теорема о делении многочленов. Для любых двух многочленов P(x) и Q(x) можно найти такие многочлены S(x) и R(x), что P(x)=Q(x)∙S(x)+R(x), причём степень R(x) меньше степени Q(x) или же R(x) 0. Многочлены S(x) и R(x) определяются однозначно.
Многочлен S(x) называется частным от деления P(x) на Q(x), а R(x) – остатком от этого деления.
Если остаток от деления P(x) на Q(x) равен нулю, то Q(x) называется делителем многочлена P(x).
Процесс деления многочленов аналогичен процессу деления натуральных чисел “столбиком” и осуществляется таким образом, чтобы на каждом промежуточном этапе деления исчезала старшая степень делимого многочлена.
Пример 1. Разделить многочлен на многочлен
Решение.
Для деления многочлена Pn(x) на двучлен x-c удобно применять схему Горнера. Всякий многочлен единственным образом представим в виде Pn(x)=(x-c)Qn-1(x)+R, где – неполное частное, а число R – остаток. Коэффициенты Qn-1(x) и R вычисляются по формулам:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Многочлены. Стр.1
Для вычисления по схеме Горнера используют таблицу, верхняя строка которой задана, а нижняя заполняется в соответствии с формулами (*):
| a0 | a1 | … | an-1 | an | |
| с | b0 | b1 | … | bn-1 | R |
Пример 2. Разделить, пользуясь схемой Горнера, многочлен P5(x)=15-2x3+7x на x-1.
Решение.
| -2 | 0 | 7 | 15 | |
| 1 | -2 | 0+1∙(-2)= -2 | 7+1∙(-2)= 5 | 15+1∙5= 20 |
Следовательно, Q2(x)=-2x2 - 2x +5, R=20. В результате имеем:
15 - 2x3 + 7x = (-2x2 2- 2x +5)(x-1) + 20.
Теорема о тождественности многочленов. Многочлены P(x) и Q(x) тождественно равны (a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an b0xn+b1xn-1+…+bn-1x+bn) тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях x.
Число x0 называется корнем многочлена P(x), если P(x0)=0.
Теорема Безу. Число x0 является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) без остатка делится на x-x0, т.е. когда P(x) можно представить в виде P(x)=(x-x0)∙Q(x)
Следствия: 1.Если x1 , … , xn – корни многочлена Pn(x), то он представляется в виде Pn(x)=a0(x-х1)(x-x2) … (x-xn). 2.Остаток от деления многочлена Pn(x) на x-c равен числу Pn(c).
Подбор целого и рационального корней многочлена.
1.Если многочлен имеет целый корень, то этот корень находится среди делителей свободного члена этого многочлена.
2.Если многочлен имеет рациональный корень , то число m находится среди делителей свободного члена, а число n является делителем старшего коэффициента этого многочлена.
Задачи для самостоятельного решения.
№1. Разделить многочлен P(x)=4x4-16x3+3x2-5x+17 на многочлен Q(x)=2x2-3x+1.
№2.Разделить многочлен P(x)=x4+2x3-3x2-4x+1на линейный многочлен Q(x)=x+1, пользуясь схемой Горнера.
№3. Разложить многочлен P(x)=2x4-5x3+3x2-x-2 на множители на множестве комплексных чисел.
№4. Разложить многочлен P(x)=6x4+11x3+26x2-9x-10 на множители на множестве комплексных чисел, если известны два его корня и .
Домашнее задание.
№1. Разделить многочлен P(x)=6x6-4x5+2x3-3 на многочлен Q(x)=x2-x+2.
№2.Разделить многочлен P(x)=2x4-x+1на линейный многочлен Q(x)=x+3, пользуясь схемой Горнера.
№3. Разложить многочлен P(x)=x5-3x4-3x3-23x2-54x-30 на множители на множестве комплексных чисел.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Многочлены. Стр.2