Дифференциальные уравнения
Функции одной переменной
1. Производная функции в точке. Односторонние производные. Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции.
2. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Непрерывность дифференцируемой функции.
3. Понятие дифференциала функции. Дифференциал аргумента. Формула для вычисления дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.
4. Правила дифференцирования (дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций). Дифференцирование сложной функции и обратной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
5. Таблица производных и дифференциалов простейших элементарных функций.
6. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции.
7. Инвариантность формы первого дифференциала.
8. Производные и дифференциалы высших порядков.
9. Производные n-го порядка функций: 1) y = xα, 2) y = ax, 3) y = sinx, 4) y = cosx, 5) y = ln(1 + x), 6) y = (1 + x)–1.
10. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций.
Теоремы о дифференцируемых функциях
11. Экстремум. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции).
12. Теорема Ролля (о нуле производной).
13. Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений.
14. Теорема Коши. Обобщённая формула конечных приращений.
15. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей 0/0, ∞/∞, 0∙∞, ∞−∞, 1∞, 00, ∞0.
16. Формула Тейлора. Различные формы остаточного члена (формы Лагранжа и Пеано).
17. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена элементарных функций y = ex, y = sinx, y = cosx, y = ln(1 + x), y = (1 + x)α.
Исследование графика функции
18. Асимптоты графика функции.
19. Монотонные функции. Необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке.
20. Необходимое условие экстремума дифференцируемой (теорема Ферма) и недифференцируемой в данной точке функции. Стационарные и критические точки. Достаточные условия экстремума.
21. Классификация экстремумов.
22. Выпуклость графика функции. Теорема (доказательство самостоятельно) об определении направления выпуклости на интервале по знаку второй производной.
23. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба.
24. (Самостоятельно) Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Функции многих переменных
25. n-мерное координатное пространство, точки этого пространства.
26. n-мерное евклидово пространство. Расстояние между точками.
27. Важнейшие типы множеств n-мерного евклидова пространства.
28. Последовательность точек евклидова пространства, её предел.
29. Понятие функции многих переменных. Область определения.
30. Предел функции в точке, на бесконечности; бесконечный предел. Повторные пределы.
31. Б.м. и б.б. функции.
32. Непрерывность функции в точке, на множестве. Основные свойства непрерывных функций.
33. Частные производные.
34. Дифференцируемость функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
35. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных. Касательная плоскость.
36. Дифференциал функции. Дифференциалы независимых переменных. Формула для вычисления дифференциала функции.
37. Дифференцирование сложной функции.
38. Дифференцирование неявной функции.
39. (Самостоятельно) Производная по направлению. Градиент.
40. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Шварца (о равенстве смешанных производных).
41. Квадратичная форма. Знакоопределённость формы, критерий Сильвестра. Второй дифференциал как симметричная квадратичная форма дифференциалов аргументов.
42. Формула Тейлора для функции многих переменных.
43. Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. Стационарные точки. Достаточное условие экстремума.
44. Условный экстремум. Функция Лагранжа.
45. (Самостоятельно) Наибольшее и наименьшее значение функции в некоторой области.
Комплексные числа
46. Определение, вещественная и мнимая части. Множество вещественных чисел как подмножество множества комплексных чисел. Чисто мнимые числа. Изображение комплексных чисел на плоскости. Равные комплексные числа. Комплексно сопряжённые числа.
47. Поле комплексных чисел.
48. Мнимая единица. Квадрат мнимой единицы. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Арифметические действия.
49. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел. Умножение, деление, возведение в натуральную степень, извлечение корня n-й степени. Формула Муавра. Формула Эйлера.
50. (Самостоятельно) Алгебраические многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители.
51. (Самостоятельно) Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Интеграл
52. Первообразная. Теорема о разности двух первообразных.
53. Неопределённый интеграл. Свойства. Таблица основных неопределённых интегралов (самостоятельно).
54. Основные методы интегрирования: подстановка (замена переменной) (самостоятельно), интегрирование по частям.
55. Интегрирование рациональных дробей.
56. Интегрирование иррациональных функций.
57. Интегралы от тригонометрических функций.
58. Тригонометрические подстановки.
59. Определённый интеграл. Свойства.
60. (Самостоятельно) Классы интегрируемых функций.
61. Интеграл с переменным верхним пределом.
62. Формула Ньютона-Лейбница.
63. (Самостоятельно) Геометрические приложения определённого интеграла.
64. Понятие двойного интеграла.
65. Понятие криволинейного интеграла.
66. Несобственные интегралы 1-го и (самостоятельно) 2-го рода.
Дифференциальные уравнения
67. Обыкновенное дифференциальное уравнение, порядок уравнения, решение уравнения, интегральная кривая, общее, частное, особое решения.
68. Уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной. Область определения уравнения. Формы записи: нормальная, в дифференциалах, симметрическая.
69. Задача Коши, начальные условия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
70. Виды уравнений 1-го порядка: однородное, линейное, Бернулли, в полных дифференциалах. Решение линейного уравнения методом Лагранжа. Решение линейного уравнения и уравнения Бернулли методом Бернулли.
71. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Линейный дифференциальный оператор.
72. Однородное линейное уравнение: характеристическое уравнение, ФСР (фундаментальная система решений), определитель Вронского, общее решение.
73. Неоднородное линейное уравнение: структура решения, метод Лагранжа, метод неопределённых коэффициентов (для уравнений со специальной правой частью).
74. Системы дифференциальных уравнений. Решение методом исключения.