Методы решения систем нелинейных уравнений

Установившиеся режимы электрических систем описываются с большой степенью точности нелинейными уравнениями. Системы нелинейных уравнений (СНУ) решаются только итерационными методами. При изменении напряжений узлов в небольших диапазонах система уравнений установившегося режима носит название слабо нелинейной и для нахождения её корней могут быть применены метод Зейделя и метод простой итерации. В случае, когда нелинейность уравнений высока, применяется более эффективный метод Ньютона, который получил наибольшее применение в электроэнергетике. Необходимо хорошо понять сущность этого метода, основанного на последовательном решении линеаризованных систем уравнений. Предлагается рассмотреть геометрическую интерпретацию метода Ньютона на примере решения одного нелинейного уравнения, изучить алгоритм решения СНУ этим методом.

1. Понятие о нелинейных уравнениях, описывающих режимы электрических систем.

2. Методы простой итерации и Зейделя для решения нелинейных уравнений.

3. Сущность линеаризации нелинейных уравнений.

4. Метод Ньютона как метод касательных для решения нелинейного уравнения.

5. Алгоритм метода Ньютона для решения СНУ.

ЗАДАЧИ

В условии задач указывается литература, которую рекомендуется использовать для изучения методов их решения.

Задача 1. Вычислить определитель квадратной матрицы третьего порядка (табл.1) двумя способами: классическим и разложением по элементам строки или столбца [2].

Задача 2. Обратить классическим способом квадратную матрицу третьего порядка (табл.1) [2].

Задача 3.Для графа сети (табл.2) составить матрицы, входящие в уравнения законов Ома и Кирхгофа [1,3].

Задача 4. Для графа сети (табл.2) составить матрицы, входящие в выражения:

(1)

(2)

для определения токов в ветвях методом узловых напряжений [1,3].

Задача 6. Решить СЛУ третьего порядка (табл.4) методом обратной матрицы [2].

Задача 7. Решить СЛУ третьего порядка (табл.4) методом Гаусса. Вычисления выполнять в матричной форме [2].

Задача 8. Решить СЛУ второго порядка (табл.5) методом простой итерации [2]. Принять начальные приближения , и точность вычисления корней .

Задача 9. Решить СЛУ второго порядка (табл.5) методом Зейделя [2]. Принять начальные приближения , и точность вычисления корней . Сравнить число итераций по методу простой итерации и методу Зейделя.

Задача 10. Решить СНУ второго порядка (табл.6) методом Ньютона. [2]. Принять , и .

Список литературы

1 Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики/Под ред. В.А. Веникова. Т.1 – М.: Высшая школа, 1981. – 334

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

3. Блок В.М. Электрические сети и системы: Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа 1986. – 430 с.

4. Электроэнергетические системы в примерах и иллюстрациях: Учебное пособие для ВУЗов/ Под ред. В.А. Веникова. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 504 с.

5. Идельчик В.И. Расчеты и оптимизация установившихся режимов электрических сетей и систем. – М.: Энергоатомиздат, 1988.