Метод установления для ур-я Лапласа. Эволюц. метод

Метод конечных разностей для ур-я диффузии:

Проиллюстрируем применение метода на примере реш. 1 нач. краевых задач на плоскости

{ ¶T/¶t = aDT ; T½_L=f ; T(M,0) = j(M) }

Покроем область S линиями параллельн. осям х и y сеткой с шагом Dх=Dy=h )шаг может быть и переменным, но для простоты – const) Определим на этой сетке сеточную ф-ию T_{i j.} Р/м фрагмент / см рис/

Апроксимируем централ. разностями и перепишем в виде : ¶T_{i j} /¶t = (L₁+L₂)T_ij (*)

L₁Tij = a(T_{i +1,j} - 2T_ij + T_i-1,j ) / h²

L₂Tij = (a/h²)(T_i,j+1 - 2T_ij + T_i-1,j)

Проинтегрируем (*) по t от t_k до t_k+1 и результат разделим на Dt : (T_ij ^k+1 – T_ij^k )/Dt = (L₁+L₂)T^~_ij

где T ^~ij = (1/Dt) ò_tk^tk+1 T_ij dt /В зависимости от способа вычисл. интеграла T ^~ получают различные схемы для реш ур-я диф-ии. Р/м 2 наиболее употребительные :

1) Пусть например T ^~ij¹=T_ij^k В этом случае получаем явную конечно разностную схему: T^k+1_ij=Dt(L₁+L₂) T^k_ij+ T^k_ij Здесь при k=0 правая часть известна и по этой ф-ле вычис-ляется значение искомой ф-ии в момент k+1. Полученная сеточная ф-ция подставл-ся в прав часть и т.д. до установ-ления. Однако обладает 1-м недостатком: Она условно устойчива к погрешностям округления. (Dta) / h ² < 1 – Условие устойчивости. Это усл накладывает жесткие требования к соотношению шагов Dt/h². что при больших скоростях диффузии приводит к очень мелким рублениям. По этой причине она используется редко.

2) теперь T ^~_ij = T^k+1_ij В результате получим неявную безус-ловно устойчивую к погрешностям вычислений схему.

T ^k+1_ij - Dt(L₁+L₂)T ^k+1_ij = T ^k_ij (" t , h)

при k=0 правая часть известна, а для нахождения T ¹_ij нужно решить СЛАУ. В этой схеме на каждом временном слое нужно решать СЛАУ.

Метод установления для ур-я Лапласа. Эволюц. метод

Описанной выше процедурой решили ур. диф. Можно юзать для построения одного из вариантов методовреш. краевых задач для ур. Лапласа. Пусть например в некото-рой плоской обл. нужно реш. з.Д. для ур.Лапласа.

{ DU=0 в S , Uç_L = f } (*)

Р/м вспомогательную (эволюционную) задачу вида:

{ ¶V/¶t = DV (**)

{Vç_L = f : V(M,0)=g(M)

где g(M) – произвол. ф-ция совпадающая на границе с ф-цией f. Покажем что при t® ¥ решение задачи (**) асимптотическое ® решению (*) т.е. V(M,t)®U(M), t® ¥

Вычитая (*) из (**) получим что ф-ия j(M,t) = V - U удовл.усл.: { ¶j/¶t = Dj; (3*)

{ jç_s= 0 : j(M,0) = g(M)-U(M)

здесь j (M,0)- произвол ф-ия, на границе обращается в 0.

Ниже показано что решение (3*) представимо в виде:

j (M,t) = S^¥_k=1C_ke ^--lкtj_k(M), где j_k и l_k решение следующей задачи Штурма-Лиувиля { Dj_k = -l_kj_k

{ j_k|_L = 0

, а C_k = ò_S j(M,0) j_k(M)dS

Можно показ.,что числа l_k положит и образ счетное мн-во

l₁ £ l₂ £ l₃ £ … А ф-я j_k образ. полную ортонормир систе-му : ò_S j_k j_ndS = {1, k = n

{0, k ¹ n.

Use св-ва собственых ф-ций оценим норму ф-ции j (M,t) ò_S j²dS = å_kC²_k exp(-2l_kt) £ exp(-2l₁t)å_kC_k² <¥

Тогда при t®¥ ò_S j²dS®0 Что говорит о том, что j(M,t)®0 т.е. V(M,t)®U(M) при t®¥.

Установление эволюционного решения происходит очень быстро благодаря exp-затуханию начальных данных.

Этот метод явл одним из основных.

8.5 Метод разделения перем(Фурье) для ур-я диффузии

Покажем этот метод на конкретном при-мере. Пусть есть шар R, нагрет до Т₀ .

Пусть в момент t=0 этот шар в переме-шиваемую жидк-ть T₁ < T₀. Найти распред-ние темпер-ры внутри шара: T(M,t)=? Решение: В силу симметр. Þ что искомое темп/поле будет зависеть только от T(r,t).

В силу интенсивного перемешив/я и выс. теплопроводно-сти шара можно считать, что t⁰-ра пов-ти шара T(R,t) = T₁

Уравнение для t⁰-ры : DT = - (1/a)¶T/¶t = 0

Сферич система : 1/r² (¶/¶r)(r² ¶T/¶r) - 1/a(¶T/¶t) = 0

Для реш-я задачи удобно ввести вспом ф-ю j(r,t)=T(r,t)-T₁

{(1/r²)¶/¶r(r² ¶j/¶r) - 1/a(¶j/¶t)=0

| j(R_Ш,t) = 0

| j(r,0) = T₀ - T₁

{j (r,t) < ¥

Если применить метод Ф. непоср-но к этому ур-ю, то реш. может быть выраж. через ф-и Бесселя. Можно упростить ур-е так, чтобы прийти к тригоном. ф-ям.

Из 1/r (¶/¶r)(r² ¶j/¶r) - 1/a(¶/¶t)(rj) = 0

можно олучить ¶²/¶r²(rj) - 1/a(¶/¶t)(rj) = 0. / Введем новую ф-ю. y(r,t)=rj. Сформулир. краев. зад. для этой ф-и.

{ (¶²y/¶r²) - 1/a(¶y/¶t) = 0

{ y(R,t) = 0 : y(r,0) = r(T₀-T₁)

{ y(r,t) / r < ¥.

В соотв. с методом Фур. ищем реш в виде: y(r,t)=R(r)Q(t)

R``-mR = 0 : Q`-maQ = 0 - m=const разделения. Решение имеет вид: Q(t)=C₁e^mat. Поскольку реш не может неогр-но возраст Þ положить m = -l². В этом случае имеем:

Q(t)=C₁exp(-l²at); R(r) = C₂ sin lr + C₃ cos lr. Заметим, что ф-ция R(r)/r < ¥ откуда имеем: C₃ = 0. Удовлетворяя краев. усл. : R | _S = 0 ® sin lR₀=0 ® l_k = kp/R₀ , k = 1,2. Частное реш. для y_k можно записать в виде:

y_k (r,t) = D_k exp(-l²_k at)sin l_k r. Общее реш. ищется наложением : y(r,t)=å_k D_k exp(-l_k²at)sin l_kr. Удовлетворяя нач. усл. зад.: r (T₀ - T₁) = å_k D_k sin rl_k

® находим коэф. D_k : D_k = (T₀ - T₁) 2R₀ / [kp(-1)^k-1]

Возвращаясь к темп/полю T(r,t) получ окончат решение.:

{ T(r,t) = T₁ + 2R₀(T₀-T₁)/(pr) *

*å_k[ (-1)^k-1/ k]exp(-l_k²at) sin l_k r

{ l_k = kp / R₀.

o Примен. преобр-я Лапласа для реш. ур-я дифф.

Используя преобр-е Лапл. по времени можно ур-е дифф-и привести к ур. содержащее только пространственые производные. При этом нач. краев. задача преобр в краев. задачу, методы реш. кот. р/ны раньше. Рассм ур-е дифф-и:

{Dj - 1/a(¶j/¶t)=f Предпол, что все ф-и в этой зад.

{j (M,0) = j₀ (M) принадл. множ-ву оригиналов тогда

{j (M,t)|_MÎt = j₁(M,t). использ. преобр-е Л. по t к ур-ю и доп. усл, и use его св-ва получим краев. задачу для изобра-жений.

{Dj ⁰ - P/a (j⁰) = F⁰ - j₀(M)/a;

{j⁰(M,P)|_MÎS = j⁰₁(M,P).

Заметим, что нач. усл. вошло в прав. часть ур-я. Если реш. этой зад. построено, то оригин. можно восст. с пом-ю ò-ла:

j (M,t) = 1/2pi ò_s-i¥^s+i¥j⁰(N,P)e^ptdP Re p =s

Этот ò-л можно вычислить с помощью вычетов.

---------------

---------------

Интеграл Дюамеля.

Если известно решение з. Релея при единичном гранич условии, то реш. при произв. меняющемся во времени гран. усл. можно постр. с пом-ю ò-ла Дюамеля. Псть реш. при ед. имеет вид:

{ T₁^o(x,p)=(1/p) exp{-x Öp/a}

{Реш. при произв. меняющ. во времени кр. усл. f(t) = T(0,t)

{ T^o(x,p)=F^o(p) exp{-x Ö(p/a)}

Исключая из этих соотн. exp получим: T^o(x,t)=pF^o(p)T^o(x,p)

Оригинал такого изображения опред-ся ò-лом Дюамеля.

T(x,t) = f(0)T₁(x,t) + ò₀^t T₁^`(x,t)F(t-t)dt =

= T₁(0,t) f(t) + ò₀^t f `(t) T₁(x, t-t)dt =

= ò₀^tf `(t)E_rf [ x / 2Öa(t-t)| ]dt. Это и есть решение.